Нотация анализа

Нотация анализа — система математических обозначений, применяемая в математическом анализе, при этом различные математические школы применяют различные обозначения для производной функций или переменных. Использование той или иной нотации зависит от контекста, и одно обозначение может оказаться удобнее других в конкретном случае. Наиболее общеупотребительна нотация ЛейбницаШаблон:Переход, также широко используются нотации ЛагранжаШаблон:Переход, ЭйлераШаблон:Переход, НьютонаШаблон:Переход.

Нотация Лейбница

Оригинальная нотация, использованная Готфридом Вильгельмом Лейбницем, сплошь используется математиками. Она особенно удобна, когда выражение $y=f(x)$ рассматривается как функциональная связь между переменными $y$ и $x$. Нотация Лейбница делает эту связь явной путём записи производной как

$\frac{dy}{dx}.$

Функция, значение которой в точке Шаблон:Math является производной от Шаблон:Math по Шаблон:Math тогда записывается

$\frac{df}{dx}(x)\text{ или }\frac{df(x)}{dx}\text{ или }\frac{d}{dx}f(x).$

Производные большего порядка записываются как

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2},\frac{d^{3}y}{d{x}^3},\frac{d^{4}y}{d{x}^4},\dots ,\frac{d^{n}y}{d{x}^n}.$

Это напоминает формальную манипуляцию символами

$\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx}={\left(\frac{d}{dx}\right)}^{2}y=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}.$

Вообще говоря, эти равенства не являются теоремами. Более того, они являются просто определениями нотации. К тому же применение правила вычисления Шаблон:Нп5 к вышеприведённой нотации с использованием dd, чтобы не путать с d², даёт

$\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx}=\frac{ddy}{d{x}^2}-\frac{dy}{dx}\frac{ddx}{d{x}^2}.$

Значение производной Шаблон:Math в точке $x=a$ можно выразить с помощью нотации Лейбница двумя путями:

${\frac{dy}{dx}|}_{x=a}\text{ или }\frac{dy}{dx}(a)$.

Обозначение Лейбница позволяет указать переменную, по которой ведётся дифференцирования (в знаменателе). Это особенно удобно, когда рассматриваются частные производные. Это также позволяет легко запомнить и распознать правило дифференцирования сложной функции:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}.$

Нотация Лейбница для дифференцирования не требует придания особого смысла символам, таким как $dx$ или $dy$ и некоторые авторы не пытаются придать этим символам какой-то смысл. Лейбниц трактовал эти символы как бесконечно малые величины. Позднее авторы дали им другие смыслы, такие как бесконечно малые в нестандартном анализе или внешние производные.

Некоторые авторы и журналы используют прямое написание символа дифференцирования Шаблон:Math вместо курсива, то есть Шаблон:Math. Стандарт ISO/IEC 80000 рекомендует этот стиль.

Нотация Лейбница для первообразной

Для функций от 2 и более переменных см. Кратный интеграл

Лейбниц ввёл знак интеграла $\int$ в работах Analyseos tetragonisticae pars secunda и Methodi tangentium inversae exempla (обе работы 1675 года). Знак стал стандартным символом интегрирования.

$\begin{array}{cc}\int y^{\prime }dx& =\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+C_0=y+C_0\\ \int ydx& =\int f(x)dx=F(x)+C_1\\ \iint yd{x}^2& =\int (\int ydx)dx=\underset{X\times X}{\int }f(x)dx=\int F(x)dx=g(x)+C_2\\ \underset{n}{\underbrace{\int \dots \int }}y\underset{n}{\underbrace{dx\dots dx}}& =\underset{\underset{n}{\underbrace{X\times \cdots \times X}}}{\int }f(x)dx=\int s(x)dx=S(x)+C_n\end{array}$

Нотация Лагранжа

Одна из наиболее употребительных нотаций дифференцирования названа именем Жозефа Луи Лагранжа, хотя на самом деле её ввёл Эйлер, а Лагранж просто сделал нотацию популярной. В нотации Лагранжа штрих означает производную. Если f — функция, то её производная от x записывается как

$f^{\prime }(x)$.

Нотация появилась в печати в 1749 годуШаблон:R.

Производные более высоких порядков отображаются дополнительными знаками, $f^{″}(x)$ для второй производной и $f^{‴}(x)$ для Шаблон:Нп5. Использование кратных штрихов рано или поздно приводит к громоздким выражениям. Некоторые авторы продолжают использование римских цифр, обычно на нижнем регистреШаблон:SfnШаблон:Sfn как ниже

$f^{\mathrm{i}\mathrm{v}}(x),f^{\mathrm{v}}(x),f^{\mathrm{v}\mathrm{i}}(x),\dots ,$

для обозначения четвёртой, пятой, шестой и производных более высокого порядка. Другие авторы используют арабские цифры в скобках как ниже

$f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)}(x),\dots .$

Эта нотация делает возможным записать n-ю производную, где n является переменной. Делается это так

$f^{(n)}(x).$

Символы юникода для нотации Лагранжа:

• Шаблон:Unichar
• Шаблон:Unichar
• Шаблон:Unichar
• Шаблон:Unichar

Если имеется две независимые переменные для функции f(x, y), можно следовать следующим соглашениямШаблон:Sfn:

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }& =\frac{df}{dx}=f_x\\ f_{\prime }& =\frac{df}{dy}=f_y\\ f^{\prime \prime }& =\frac{d^{2}f}{d{x}^2}=f_{xx}\\ f_{\prime }^{\prime }& =\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=f_{xy}\\ f_{\prime \prime }& =\frac{d^{2}f}{d{y}^2}=f_{yy}\end{array}$

Нотация Лагранжа для первообразной

Для обозначения первообразной Лагранж следовал нотации ЛейбницаШаблон:R:

$f(x)=\int f^{\prime }(x)dx=\int ydx.$

Однако, поскольку интегрирование является обратной операцией взятия производной, нотация Лагранжа для производных больших степеней распространяется и на интегрирование. Кратные интегралы от f могут быть записаны как

$f^{(-1)}(x)$ для обычного интеграла (не спутайте с обратной функцией $f^{-1}(x)$),

$f^{(-2)}(x)$ для двойного интеграла,

$f^{(-3)}(x)$ для тройного интеграла

$f^{(-n)}(x)$ для n-кратного интеграла.

Нотация Эйлера

Нотация Эйлера использует дифференциальный оператор, предложенный Луи-Франсуа-Антуаном Арбогастом, имеющим обозначение $D$ (D-оператор)Шаблон:R или $\tilde{D}$ (оператор Ньютона — Лейбница)Шаблон:R. Когда применяется к функции $f(x)$, оператор определяется как

$(Df)(x)=\frac{df(x)}{dx}.$

Производные более высокого порядка обозначаются как «степени» оператора D (где индекс обозначает кратность оператора D)Шаблон:Sfn

$D^{2}f$ для второй производной,

$D^{3}f$ для третьей производной

$D^{n}f$ для n-й производной.

Нотация Эйлера не указывает явно переменную, по которой ведётся дифференцирование. Однако эту переменную можно указать и явно. Если f — это функция от переменной x, это можно выразить, записавШаблон:Sfn

$D_{x}f$ для первой производной,

$D_x^{2}f$ для второй производной,

$D_x^{3}f$ для третьей производной

$D_x^{n}f$ для n-й производной.

Если f является функцией нескольких переменных, принято использовать «∂», а не Шаблон:Math. Как и выше, нижний индекс означает переменную, по которой ведётся дифференцирование. Например, вторые частные производные функции Шаблон:Math обозначаются какШаблон:Sfn:

${\partial }_{xx}f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2},$

${\partial }_{xy}f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x},$

${\partial }_{yx}f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y},$

${\partial }_{yy}f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}.$

См. Шаблон:Ссылка на раздел.

Нотация Эйлера полезна для формулировки и решения линейных дифференциальных уравнений, поскольку упрощает представление дифференциальных уравнений, что позволяет увидеть существенные элементы задачи проще.

Нотация Эйлера для первообразной

Нотация Эйлера может быть использована для первообразной так же, как и нотация ЛагранжаШаблон:R, следующим образомШаблон:R

$D^{-1}f(x)$ для первой первообразной,

$D^{-2}f(x)$ для второй первообразной

$D^{-n}f(x)$ для n-й первообразной.

Нотация Ньютона

Нотация Ньютона для дифференцирования помещает точку над зависимой переменной. То есть, если y является функцией от t, то производная y по t есть

$\dot{y}$.

Производные более высокого порядка представляются кратными точками как ниже

$\ddot{y},\stackrel{...}{y}$

Ньютон распространил эту идею широкоШаблон:R:

$\begin{array}{cc}\ddot{y}& \equiv \frac{d^{2}y}{d{t}^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt}\right)=\frac{d}{dt}\left(\dot{y}\right)=\frac{d}{dt}(f^{\prime }(t))=D_t^{2}y=f^{″}(t)=y^{\prime }{\text{'}}_t\\ \stackrel{...}{y}& =\dot{\ddot{y}}\equiv \frac{d^{3}y}{d{t}^3}=D_t^{3}y=f^{‴}(t)=y^{″}{\text{'}}_t\\ \stackrel{4}{\dot{y}}& =\stackrel{....}{y}=\ddot{\ddot{y}}\equiv \frac{d^{4}y}{d{t}^4}=D_t^{4}y=f^{\mathrm{I}\mathrm{V}}(t)=y_t^{(4)}\\ \stackrel{5}{\dot{y}}& =\ddot{\stackrel{...}{y}}=\dot{\ddot{\ddot{y}}}=\ddot{\dot{\ddot{y}}}\equiv \frac{d^{5}y}{d{t}^5}=D_t^{5}y=f^{\mathrm{V}}(t)=y_t^{(5)}\\ \stackrel{6}{\dot{y}}& =\stackrel{...}{\stackrel{...}{y}}\equiv \frac{d^{6}y}{d{t}^6}=D_t^{6}y=f^{\mathrm{V}\mathrm{I}}(t)=y_t^{(6)}\\ \stackrel{7}{\dot{y}}& =\dot{\stackrel{...}{\stackrel{...}{y}}}\equiv \frac{d^{7}y}{d{t}^7}=D_t^{7}y=f^{\mathrm{V}\mathrm{I}\mathrm{I}}(t)=y_t^{(7)}\\ \stackrel{10}{\dot{y}}& =\ddot{\ddot{\ddot{\ddot{\ddot{y}}}}}\equiv \frac{d^{10}y}{d{t}^{10}}=D_t^{10}y=f^{\mathrm{X}}(t)=y_t^{(10)}\\ \stackrel{n}{\dot{y}}& \equiv \frac{d^{n}y}{d{t}^n}=D_t^{n}y=f^{(n)}(t)=y_t^{(n)}\end{array}$

Символы юникода для нотации Ньютона:

• Шаблон:Unichar
• Шаблон:Unichar
• Шаблон:Unichar.
• Шаблон:Unichar.
• Шаблон:Unichar
• Шаблон:Unichar
• Шаблон:Unichar
• Шаблон:Unichar
• Шаблон:Unichar

Нотация Ньютона в основном используется, когда независимой переменной служит время. Если положение Шаблон:Math является функцией от времени t, то $\dot{y}$ обозначает скоростьШаблон:R, а $\ddot{y}$ обозначает ускорениеШаблон:R. Эта нотация популярна в физике и математической физике. Она также появляется в математических областях, связанных с физикой, таких как дифференциальные уравнения. Нотация популярна только для первой и второй производных, но в этих приложениях производные большего порядка и не требуются.

Когда берётся производная зависимой переменной $y=f(x)$, существует альтернативная нотацияШаблон:Sfn:

$\frac{\dot{y}}{\dot{x}}=\dot{y}:\dot{x}\equiv \frac{dy}{dt}:\frac{dx}{dt}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(f(x))=Dy=f^{\prime }(x)=y^{\prime }.$

Ньютон разработал следующие операторы частных производных на основе точки сбоку от изогнутого X (ⵋ). Определения, данные Вайтсайдом следующиеШаблон:Sfn:

$\begin{array}{cc}𝒳& =f(x,y),\\ \cdot 𝒳& =x\frac{\partial f}{\partial x}=x{f}_x,\\ 𝒳\cdot & =y\frac{\partial f}{\partial y}=y{f}_y,\\ :𝒳\text{ или }\cdot (\cdot 𝒳)& =x^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=x^2{f}_{xx},\\ 𝒳:\text{ или }(𝒳\cdot )\cdot & =y^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=y^2{f}_{yy},\\ \cdot 𝒳\cdot & =xy\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=xy{f}_{xy},\end{array}$

Нотация Ньютона для интегрирования

Ньютон разработал много различных нотаций для интрегрирования в работе Quadratura curvarum (1704) и Шаблон:Нп5 — он писал маленькую вертикальную черту или штрих над зависимой переменной ($\stackrel{\prime }{y}$), прямоугольник перед переменной ($◻y$) или заключение в прямоугольник (Шаблон:Math) для обозначения Шаблон:Нп5 или интеграла по времени.

$\begin{array}{cc}y& =◻\dot{y}\equiv \int \dot{y}dt=\int f^{\prime }(t)dt=D_t^{-1}(D_{t}y)=f(t)+C_0=y_t+C_0\\ \stackrel{\prime }{y}& =◻y\equiv \int ydt=\int f(t)dt=D_t^{-1}y=F(t)+C_1\end{array}$

Для обозначения кратных интегралов Ньютон использовал маленькие вертикальные чёрточки ($\stackrel{\prime \prime }{y}$) или комбинацию предшествующих букве символов $◻\stackrel{\prime }{y}$ $\stackrel{\prime }{y}$ для обозначения двойного интеграла по времени.

$\stackrel{\prime \prime }{y}=◻\stackrel{\prime }{y}\equiv \int \stackrel{\prime }{y}dt=\int F(t)dt=D_t^{-2}y=g(t)+C_2$

Более высокие интегралы по времени были следующиеШаблон:R:

$\begin{array}{cc}\stackrel{\prime \prime \prime }{y}& =◻\stackrel{\prime \prime }{y}\equiv \int \stackrel{\prime \prime }{y}dt=\int g(t)dt=D_t^{-3}y=G(t)+C_3\\ \stackrel{\prime \prime \prime \prime }{y}& =◻\stackrel{\prime \prime \prime }{y}\equiv \int \stackrel{\prime \prime \prime }{y}dt=\int G(t)dt=D_t^{-4}y=h(t)+C_4\\ \stackrel{n}{\stackrel{\prime }{y}}& =◻\stackrel{n-1}{\stackrel{\prime }{y}}\equiv \int \stackrel{n-1}{\stackrel{\prime }{y}}dt=\int s(t)dt=D_t^{-n}y=S(t)+C_n\end{array}$

Эти математические обозначения не стали общеупотребительными ввиду трудности печати и спора Ньютона и Лейбница о приоритете.

Частные производные

Когда требуются более специфичные типы дифференцирования, такие как в анализе функций многих переменных или тензорном анализе, общеупотребительны другие нотации.

Для функции f от независимой переменной x мы можем выразить производную с помощью индекса в виде независимой переменной:

$\begin{array}{cc}{f}_x& =\frac{df}{dx}\\ f_{xx}& =\frac{d^{2}f}{d{x}^2}.\end{array}$

Этот тип нотации особенно полезен для обозначения частных производных функции многих переменных.

Частные производные обычно отличают от обычных производных путём замены оператора дифференцирования d на символ «∂». Например, мы можем выразить частную производную $f(x,y,z)$ по x, но не по y или z несколькими способами:

$\frac{\partial f}{\partial x}=f_x={\partial }_{x}f.$

Что делает это отличие в нотации важным, это то, что простая производная (не частная), такая как $\frac{df}{dx}$, может, в зависимости от контекста, быть интерпретирована как скорость изменения $f$ от $x$, когда все остальные переменные могут изменяться одновременно, в то время как для частной производной, такой как $\frac{\partial f}{\partial x}$, только одна переменная может меняться.

Другие нотации можно найти в различных подобластях математики, физики и технических наук. См., например, соотношения Максвелла термодинамики. Символ ${\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)}_S$ является производной температуры T по объёму V, сохраняя при этом постоянной энтропию (индекс) S, в то время как ${\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)}_P$ является производной температуры по объёму при сохранении постоянным давлении P. Это становится необходимым в ситуациях, когда число переменных превосходит число степеней свободы, так что нужно выбирать, какие переменные необходимо сохранять постоянными.

Частные производные большего порядка по одной переменной выражаются как

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=f_{xx},$

$\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x^3}=f_{xxx},$

и так далее. Смешанные частные производные можно выразить как

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=f_{xy}.$

В этом последнем случае переменные записаны в обратном порядке для двух нотаций:

$(f_x{)}_y=f_{xy},$

$\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}.$

Так называемый мультииндекс используется в ситуациях, когда вышеописанные обозначения становятся громоздкими или недостаточно выразительными. Если рассматривать функции на ${ℝ}^n$, мы определим мультииндекс как упорядоченный список $n$ неотрицательных целых чисел: $\alpha =({\alpha }_1,..,{\alpha }_n),{\alpha }_i\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$. Определим теперь для $f:{ℝ}^n\to X$ нотацию

${\partial }^{\alpha }f=\frac{{\partial }^{{\alpha }_1}}{\partial x_1^{{\alpha }_1}}\cdots \frac{{\partial }^{{\alpha }_n}}{\partial x_n^{{\alpha }_n}}f$

При таком определении некоторые результаты (такие как формула Лейбница), которую другим способом записать трудно, может быть выражена кратко. Некоторые примеры можно найти в статье о мультииндексеШаблон:Sfn.

Нотация в векторном анализе

Векторный анализ занимается взятием производной и интегрированием векторного или скалярного поля. Для случая трёхмерного евклидова пространства общеупотребительны некоторые нотации.

Предположим, что $(x,y,z)$ является заданной декартовой системы координат, A является векторным полем с компонентами $𝐀=({𝐀}_x,{𝐀}_y,{𝐀}_z)$, а $\phi =\phi (x,y,z)$ является скалярным полем.

Оператор дифференцирования, введённый Уильямом Роуэном Гамильтоном, записываемый как $\mathrm{\nabla }$ и называемый набла, определяется в символической форме как вектор,

$\mathrm{\nabla }=(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}),$

Здесь выражение «в символической форме» отражает факт, что оператор $\mathrm{\nabla }$ можно трактовать как обычный вектор.

• Градиент: Градиент $\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\phi$ скалярного поля $\phi$ является вектором, который символически записывается как умножение $\mathrm{\nabla }$ на скаляроное поле $\phi$,

$\begin{array}{cc}\mathrm{grad}\phi & =(\frac{\partial \phi }{\partial x},\frac{\partial \phi }{\partial y},\frac{\partial \phi }{\partial z})\\ & =(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})\phi \\ & =\mathrm{\nabla }\phi \end{array}$

• Дивергенция: Дивергенция $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝐀$ векторного поля A есть скаляр, который символически выражается как скалярное произведение $\mathrm{\nabla }$ и вектора A,

$\begin{array}{cc}\mathrm{div}𝐀& =\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}\\ & =(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})\cdot 𝐀\\ & =\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀\end{array}$

• Оператор Лапласа: Лапласиан $\mathrm{div}\mathrm{grad}\phi$ скалярного поля $\phi$ есть скаляр, который символически выражается как скалярное умножение ${\mathrm{\nabla }}^2$ на скалярное поле $\phi$,

$\begin{array}{cc}\mathrm{div}\mathrm{grad}\phi & =\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\phi )\\ & =(\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla })\phi \\ & ={\mathrm{\nabla }}^2\phi \\ & =\mathrm{\Delta }\phi \\ \end{array}$

• Ротация:Ротация $\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}𝐀$, или $\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}𝐀$, векторного поля A — это вектор, который символически выражается как векторное произведение $\mathrm{\nabla }$ и вектора A,

$\begin{array}{cc}\mathrm{rot}𝐀& =(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z},\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x},\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})\\ & =(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z})𝐢+(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x})𝐣+(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})𝐤\\ & =\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ A_x& A_y& A_z\end{array}\right|\\ & =\mathrm{\nabla }\times 𝐀\end{array}$

Многие символические операции взятия производный могут быть обобщены простым образом с помощью оператора градиента в декартовых координатах. Например, правило произведения для одной переменной имеет прямой аналог в произведении скалярных полей путём применения оператора градиента

$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }⟹\mathrm{\nabla }(\varphi \psi )=(\mathrm{\nabla }\varphi )\psi +\varphi (\mathrm{\nabla }\psi ).$

Многие другие правила из анализа одной переменной имеют аналоги в векторном анализе для градиента, дивергенции, ротации и лапласиана.

Далее нотация развивалась для более экзотичных видов пространств. Для вычислений в пространстве Минковского, оператор Д’Аламбера, называемый также д’аламберианом или волновым оператором записывается как $◻$ или как $\mathrm{\Delta }$, если не образуется конфликт с символом лапласиана.

См. также

• Шаблон:Нп5
• Гессиан функции
• История математических обозначений
• Матрица Якоби
• Производная функции

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылка

• Earliest Uses of Symbols of Calculus, maintained by Jeff Miller (Шаблон:Webarchive).