Условная сходимость

Шаблон:Значения Ряд $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. То есть, если $\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=0}^m{a}_n$ существует (и не бесконечен), но $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}|a_n|=\mathrm{\infty }$.

Примеры

Простейшие примеры условно сходящихся рядов дают убывающие по абсолютной величине знакочередующиеся ряды. Например, ряд

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=\ln 2$

сходится лишь условно, так как ряд из его абсолютных величин — гармонический ряд — расходится.

Свойства

• Если ряд условно сходится, то ряды, составленные из его положительных и отрицательных членов, расходятся.
• Путём изменения порядка членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, сходящийся к любой наперёд заданной сумме или же расходящийся (теорема Римана).
• При почленном умножении двух условно сходящихся рядов может получиться расходящийся ряд.

Вариации и обобщения

• Понятие условной сходимости естественно обобщается на ряды векторов, бесконечные произведения, а также на несобственные интегралы.

См. также

• Теорема Римана об условно сходящихся рядах
• Абсолютная сходимость
• Безусловная сходимость