Действия с числовыми рядами

Шаблон:Нет ссылок Действия с числовыми рядами — некоторые (арифметические или перестановочные) манипуляции с одним или несколькими числовыми рядами. Эти действия могут сохранять или нарушать вид сходимости.

Сохраняющий условную сходимость

Выделяют следующие действия с числовыми рядами (они имеют смысл, то есть сохраняют сумму ряда, только если она существует):

Линейная комбинация рядов

Если ряды $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ и $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_k$ сходятся, то сходится и ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\alpha a_k+\beta b_k)$ (α, β — постоянные), при этом

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\alpha a_k+\beta b_k)=\alpha \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k+\beta \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_k$

Группировка членов ряда

Сгруппируем слагаемые ряда $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$, объединив без изменения порядка следования по нескольку (конечное число) членов ряда. Получим некоторый новый ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_k$. Раскрытие скобок в ряде в общем случае недопустимо, однако: если после раскрытия скобок получается сходящийся ряд, то раскрытие скобок возможно; если в каждой скобке все слагаемые имеют один и тот же знак, то раскрытие скобок не нарушает сходимости и не изменяет величину суммы.

Другие

Перемножение рядов

Пусть имеются два ряда $(A)=\sum _{i⩾1}{a}_i$ и $(B)=\sum _{j⩾1}{b}_j$.

Чтобы их перемножить, нужно, как и в случае конечных сумм, взять все попарные произведения $a_i{b}_j$ и сложить. Однако, в отсутствие абсолютной сходимости, существенную роль играет порядок сложения этих чисел, поэтому существует несколько различных правил перемножения рядов, отличающихся этим порядком, а также определённой группировкой слагаемых. Так, например, по разным правилам перемножаются степенные (мультистепенные) ряды, ряды Дирихле, ряды Фурье и другие виды рядов. Результатом перемножения рядов (A) и (B) является ряд (C): $\sum _{n⩾1}{c}_n$, где $c_n$ - сумма некоторой группы членов $a_i{b}_j$.

Для применения произведений рядов важно, чтобы соблюдалось ключевое правило (принцип мультипликативности суммы ряда): Сумма ряда-произведения должна быть равна произведению сумм рядов-множителей.

Это, однако, не всегда так - мультипликативность имеет место лишь при определённых условиях. Примеры произведений и условий выполнимости принципа мультипликативности:

1. Прямое произведение рядов - простейшее и естественнейшее (но не общепринятое!) правило перемножения рядов. В этом случае

1. $c_n=\sum _{\max \{i,j\}=n}{a}_i{b}_j$ - по определению;
2. $c_1+c_2+\dots +c_n=(a_1+a_2+\dots +a_n)(b_1+b_2+\dots +b_n)$ (частичная сумма ряда-произведения равна произведению соответствующих частичных сумм рядов-множителей);
3. Мультипликативность: $\sum _{n⩾1}{c}_n=\sum _{i⩾1}{a}_i\sum _{j⩾1}{b}_j$ - всегда, как только сходятся ряды (A) и (B) (сходимость ряда (C) будет обеспечена в этом случае автоматически).

2. Правило Коши перемножения рядов (соответствует правилу перемножения степенных рядов, также является общепринятым для рядов общего вида):

1. $c_n=\sum _{i+j=n}{a}_i{b}_j$ - по определению;
2. Мультипликативность: $\sum _{n⩾1}{c}_n=\sum _{i⩾1}{a}_i\sum _{j⩾1}{b}_j$, при одном из условий:
   1. если сходятся все три ряда (A), (B), (C) (условие Абеля);
   2. ряды (A) и (B) сходятся, причём один из них - абсолютно (условие Мертенса).

3. Правило Дирихле - применяется для перемножения рядов специального вида (ряды Дирихле)

1. $c_n=\sum _{i\cdot j=n}{a}_i{b}_j$ - по определению;
2. Мультипликативность: $\sum _{n⩾1}{c}_n=\sum _{i⩾1}{a}_i\sum _{j⩾1}{b}_j$, при условии, что ряды (A) и (B) сходятся, причём один из них - абсолютно (условие Мертенса).

Пример, когда ряды (A) и (B) сходятся (неабсолютно), а их произведение по правилу Коши - расходится: $a_n=b_n=(-1{)}^n/\sqrt{n}$, при $n⩾1$.

Тогда, если $i+j=n$, то $|a_i{b}_j|⩾\frac{2}{n}$, и модуль общего члена ряда $|c_n|⩾(n-1)\cdot \frac{2}{n}$ не стремится к нулю.

Перестановка членов ряда

• Если ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и исходный ряд (теорема о перестановке ряда).
• Если ряд сходится условно, то для любого наперёд заданного действительного числа (а также для $+\mathrm{\infty }$, $-\mathrm{\infty }$) можно так переставить члены этого ряда, что преобразованный ряд сходится к этому числу (расходится к $+\mathrm{\infty }$, $-\mathrm{\infty }$), либо предел последовательности частичных сумм не будет существовать (теорема Римана).

См. также

• Методы интегрирования