Уравнение Эйлера

Шаблон:Другие значения Шаблон:Механика сплошных сред Уравнение Эйлера — одно из основных уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Названо в честь Л. Эйлера, получившего это уравнение в 1752 году (опубликовано в 1757 году). По своей сути является уравнением движения жидкости. До сих пор неизвестно, существует ли гладкое решение уравнения Эйлера в трёхмерном случае, начиная с заданного момента времени.Шаблон:Sfn

Классическое уравнение Эйлера

Рассмотрим движение идеальной жидкости. Выделим внутри неё некоторый объём V. Согласно второму закону Ньютона, ускорение центра масс этого объёма пропорционально полной силе, действующей на него. В случае идеальной жидкости эта сила сводится к давлению окружающей объём жидкости и, возможно, воздействию внешних силовых полей. Предположим, что это поле представляет собой силы инерции или гравитации, так что эта сила пропорциональна напряжённости поля и массе элемента объёма. Тогда

$\underset{V}{\int }\frac{d𝐯}{dt}dm=\underset{V}{\int }𝐠dm-\underset{S}{\oint }pd𝐒,$

где $𝐒$ — поверхность выделенного объёма, $𝐠$ — напряжённость поля. Переходя, согласно формуле Гаусса — Остроградского, от поверхностного интеграла к объёмному и учитывая, что $dm=\rho dV$, где $\rho$ — плотность жидкости в данной точке, получим:

$\underset{V}{\int }\rho \frac{d𝐯}{dt}dV=\underset{V}{\int }\rho 𝐠dV-\underset{V}{\int }\mathrm{\nabla }pdV.$

В силу произвольности объёма $V$ подынтегральные функции должны быть равны в любой точке:

$\rho \frac{d𝐯}{dt}=\rho 𝐠-\mathrm{\nabla }p.$

Выражая полную производную через конвективную производную и частную производную:

$\frac{d𝐯}{dt}=\frac{\partial 𝐯}{\partial t}+(𝐯\cdot \mathrm{\nabla })𝐯,$

получаем уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости в поле тяжести: Шаблон:Рамка $\frac{\partial 𝐯}{\partial t}+(𝐯\cdot \mathrm{\nabla })𝐯=𝐠-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }p,$ Шаблон:Конец рамки где

$\rho (x,y,z,t)$ — плотность жидкости,

$p(x,y,z,t)$ — давление в жидкости,

$𝐯(x,y,z,t)$ — вектор скорости жидкости,

$𝐠(x,y,z,t)$ — вектор напряжённости силового поля,

$\mathrm{\nabla }$ — оператор набла для трёхмерного пространства.

Частные случаи

Стационарный одномерный поток

Для случая стационарного одномерного потока жидкости или газа уравнение Эйлера принимает вид

$v\frac{dv}{dx}=-\frac{1}{\rho }\cdot \frac{dp}{dx}.$

В этой форме уравнение часто используется для решения различных прикладных задач гидродинамики и газодинамики. В частности, интегрированием этого уравнения по $x$ при постоянной плотности жидкости $\rho$ получается известное уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости:

$\frac{\rho v^2}{2}+p=\text{const}.$

Несжимаемая жидкость

Пусть $\rho =\text{const}$. Используя известную формулу

$\frac{1}{2}\mathrm{grad}{v}^2=[𝐯\mathrm{rot}𝐯]+(𝐯\mathrm{\nabla })𝐯,$

перепишем соотношение в форме

$\frac{\partial 𝐯}{\partial t}+\frac{1}{2}\mathrm{grad}{v}^2=[𝐯\mathrm{rot}𝐯]-\mathrm{grad}\frac{p}{\rho }.$

Беря ротор и учитывая, что

$\mathrm{rot}\mathrm{grad}\varphi =0,$

а частные производные коммутируют, получаем, что Шаблон:Рамка $\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{rot}𝐯=\mathrm{rot}[𝐯\mathrm{rot}𝐯].$ Шаблон:Конец рамки

Адиабатическое течение

В случае, если происходит адиабатическое движение жидкости, то уравнение Эйлера можно переписать с использованием тепловой функции $w$ следующим образом:

$dw=Vdp+Tds=Vdp$ в силу того, что при адиабатическом процессе энтропия $s$ постоянна.

Следовательно:

$\frac{\partial 𝐯}{\partial t}+\left(𝐯\mathrm{\nabla }\right)𝐯=-\mathrm{grad}w.$

Используя известное соотношение

$\frac{1}{2}\mathrm{grad}{v}^2=[𝐯\mathrm{rot}𝐯]+(𝐯\mathrm{\nabla })𝐯$

и применяя операцию ротор к уравнению Эйлера, получим искомое представление в виде

$\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{rot}𝐯=\mathrm{rot}[𝐯\mathrm{rot}𝐯].$

См. также

• Уравнения Лагранжа
• Уравнение Эйлера в форме Громеки — Лэмба
• Уравнения движения вязкой жидкости
• Конформные преобразования — метод нахождения формы невязких течений, решений уравнения Эйлера.
• Уравнение вихря
• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Литература

• Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Гидродинамика
• Falkovich G. Fluid Mechanics (A short course for physicists) Cambridge University Press 2011
• Шаблон:Книга

Ссылки

Русский перевод мемуара Эйлера, в котором впервые опубликованы уравнения движения идеальной жидкости