Спектральная плотность мощности

Шаблон:Физическая величина Спектра́льная пло́тность мо́щности (СПМ) или энергетический спектр — в физике и обработке сигналов — функция, описывающая распределение мощности сигнала по частотам, а именно мощность, приходящуюся на единичный интервал частоты. Имеет размерность мощности, делённой на частоту, то есть энергии. Например, в Международной системе единиц (СИ) это Вт/с⁻¹ (Вт·с) или Вт/Гц, смотря по тому, какая частота используется: $\omega$ (c^-1) или $f$ (Гц).

Часто термин применяется при описании спектральной мощности потоков электромагнитного излучения или других колебаний в сплошной среде, например, акустических. В этом случае подразумевается мощность на единицу частоты на единицу площади, например: (Вт/c^-1)·м^-2 (формально можно заменить на Дж·м^-2, но тогда физическое содержание величины становится менее наглядным).

Детерминированный сигнал

Пусть $x(t)$ — детерминированный сигнал, рассматриваемый на промежутке времени $[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$.

Тогда преобразование Фурье от $x(t)$ имеет вид:

$F_T(\omega )=\underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}x(t)e^{-i\omega t}dt$.

Тогда величина

$G(\omega )=\frac{|F_T(\omega ){|}^2}{T}$ 

называется спектральной плотностью мощности или энергетическим спектром сигнала.

Для бесконечно протяженных (нефинитных) сигналов спектральная плотность мощности или энергетический спектр сигнала имеет вид:

$G(\omega )=\underset{T\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{|F_T(\omega ){|}^2}{T}$.

Энергия сигнала на промежутке $[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$ равна:

$E_T=\underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}{x}^2(t)dt$.

В соответствии с теоремой Парсеваля $E_T$ представима в виде:

$E_T=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}|F_T(\omega ){|}^{2}d\omega =\frac{T}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}G(\omega )d\omega$.

Мощность сигнала на промежутке $[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$ равна:

$P_T=\frac{E_T}{T}=\frac{1}{T}\underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}{x}^2(t)dt$.

В соответствии с теоремой Парсеваля $P_T$ представима в виде:

$P_T=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}G(\omega )d\omega$.

Спектральная плотность мощности сигнала сохраняет информацию только об амплитудах спектральных составляющих. Информация о фазе теряется. Поэтому все сигналы с одинаковым спектром амплитуд и различными спектрами фаз имеют одинаковые спектральные плотности мощности.

Случайный сигнал

Если сигнал $x(t)$ случайный и имеет длительность $T$, то преобразование Фурье от его $i$-ой реализации имеет вид:

$F_i(\omega )=\underset{0}{\overset{T}{\int }}{x}_i(t)e^{-i\omega t}dt,$

где $x_i(t)$ — $i$-ая реализация случайного процесса $x(t)$.

Так как $F_i(\omega )$ зависит от формы реализации случайного процесса, то для получения универсальной характеристики используют усреднение квадрата модуля $F_i(\omega )$ по всем реализациям случайного процесса.

Величина

$G(\omega )=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{T}𝔼\{|F_i(\omega ){|}^2\}$

называется спектральной плотностью мощности случайного процесса, где $𝔼\{\}$ — математическое ожидание.

Для периодически-нестационарным случайных процессов $x(t)$, т. е. процессов, у которых автокорреляционная функция периодическая, спектральную плотность мощности можно также найти на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от усредненной автокорреляционной функции $R(\tau )$:

$G(\omega )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}R(\tau )e^{-i\omega \tau }d\tau ,$

где

$R(\tau )=\frac{1}{T_u}\underset{0}{\overset{T_u}{\int }}B(t,t-\tau )dt,$

где

$B(t,t-\tau )=𝔼\{x(t)x^{*}(t-\tau )\}.$

— автокорреляционная функция от $x(t)$, $𝔼\{\}$ — математическое ожидание, звёздочка означает комплексное сопряжение,

$T_u$ — период $B(t,t-\tau )$ по переменной $t$.

Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье, которое по известной $G(\omega )$ определяет $R(\tau )$:

$R(\tau )=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}G(\omega )e^{i\omega \tau }d\omega .$

Если полагать в формулах $f=0$ и $\tau =0$, то имеем

$G(0)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}R(\tau )d\tau ,$

${\sigma }^2=R(0)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}G(\omega )d\omega =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}G(f)df$.

Формула для ${\sigma }^2$ показывает, что дисперсия определяет полную энергию случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину $G(f)df$ можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от $f-df/2$ до $f+df/2$. Если понимать под $x(t)$ случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина $G(f)$ будет иметь размерность энергии [В²/Гц] = [В²с]. В литературе часто можно встретить другую интерпретацию: ${\sigma }^2$ рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом.

Свойства спектральной плотности мощности

• Энергетический спектр – неотрицательная величина:

$G(\omega )\ge 0$.

• Энергетический спектр есть действительная и чётная функция частоты:

$G(-\omega )=G(\omega )$.

• Автокорреляционная функция $R(\tau )$ и энергетический спектр $G(\omega )$ обладают всеми свойствами, характерными для пары взаимных преобразований Фурье. В частности, чем «шире» спектр $G(\omega )$ тем «уже» корреляционная функция $R(\tau )$, и наоборот. Этот результат количественно выражается в виде принципа или соотношения неопределенности.

Методы оценки

Оценка СПМ может выполняться методом преобразования Фурье, предполагающего получение спектра в области частот посредством быстрого преобразования Фурье (БПФ). До изобретения алгоритмов БПФ этот метод из-за трудоёмкости прямого вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ) практически не использовался. Предпочтение отдавалось другим методам, в частности, методу корреляционной функции (Блэкмена — Тьюки) и периодограммному методу. Также используется коррелограммный метод.

См. также

• Спектральная плотность
• Случайный процесс
• Спектр
• Преобразование Фурье
• Амплитудно-частотная характеристика
• Спектральная плотность излучения
• Периодограмма

Литература

• Гольденберг Л. М., Матюшкин Б. Д., Поляк М. Н. Цифровая обработка сигналов: Справочник. — М.: Радио и связь, 1985.
• Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. — М.: Мир, 1982.
• Шаблон:Книга