Канторово множество

Ка́нторово мно́жество (канторов дисконтинуум, канторова пыль) — один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером дисконтинуума в математическом анализе.

Описано в 1883 году Георгом Кантором. Этим он ответил на следующий вопрос Магнуса Миттаг-Леффлера, заданный в письме от 21 июня 1882 года:

Пусть $P^{\prime }$ обозначает множество предельных точек множества $P$. Существует ли нигде неплотное множество $P$, такое что пересечение

$P\cap P^{\prime }\cap P^{″}\cap \dots$

не пусто?

Определения

Классическое построение

Из единичного отрезка $C_0=[0,1]$ удалим среднюю треть, то есть интервал $(\frac{1}{3};\frac{2}{3})$. Оставшееся точечное множество обозначим через $C_1$. Множество $C_1=[0;\frac{1}{3}]\cup [\frac{2}{3};1]$ состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть и оставшееся множество обозначим через $C_2$. Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем $C_3$. Дальше таким же образом получаем последовательность замкнутых множеств $C_0\supset C_1\supset C_2\supset \dots$. Пересечение

$C=\bigcap _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_i$

и называется канторовым множеством.

Множества $C_0,C_1,C_2,C_3,C_4,C_5,C_6$

С помощью троичной записи

Канторово множество может быть также определено как множество чисел от нуля до единицы, которые можно представить в троичной записи с помощью только нулей и двоек (числа с единицей в $n$-м разряде вырезаются на $n$-м шаге построения). Число принадлежит канторовому множеству, если у него есть хотя бы одно такое представление. Например, $0,1_3\in C$, так как $0,1_3=0,0(2{)}_3$. В такой записи легко увидеть континуальность канторова множества.

Как аттрактор

Канторово множество может быть определено как аттрактор. Рассмотрим все последовательности точек $\{x_n\}$ такие, что для любого $n$

$x_{n+1}=\frac{x_n}{3}$ или $x_{n+1}-1=\frac{x_n-1}{3}$.

Тогда множество пределов всех таких последовательностей является канторовым множеством.

Как счётная степень простого двоеточия

В литературе по общей топологии канторово множество определяется как счётная степень двухточечного дискретного пространства — $\{0;1{\}}^{{\mathrm{\aleph }}_0}$Шаблон:Sfn; такое пространство гомеоморфно классически построенному канторову множеству (с обычной евклидовой топологией)Шаблон:Sfn.

Свойства

• Канторово множество замкнуто.
• Канторово множество является нигде не плотным совершенным множеством.
• Канторово множество континуально.
• Канторово множество имеет топологическую размерность 0.
• Канторово множество имеет промежуточную (то есть не целую) хаусдорфову размерность равную $\frac{\ln 2}{\ln 3}\approx 0,63$. В частности, оно имеет нулевую меру Лебега.
• Каждый нульмерный метризуемый компакт без изолированных точек гомеоморфен канторову множеству.
• Всякий метризуемый компакт — образ канторова множества при некотором непрерывном отображении.
• Канторово множество универсально для всех нульмерных пространств со счётной базой.

Вариации и обобщения

Канторов куб (обобщённый канторов дисконтинуум) веса $𝔪⩾{\mathrm{\aleph }}_0$ — $𝔪$-я степень двухточечного дискретного пространства $\{0;1{\}}^{𝔪}$. Канторов куб универсален для всех нульмерных пространств веса не больше $𝔪$. Каждый хаусдорфов компакт веса не больше $𝔪$ есть непрерывный образ подпространства канторова куба $\{0;1{\}}^{𝔪}$.

Шаблон:Iw — компакт, представимый как непрерывный образ канторова куба. Шаблон:Iw — топологическое пространство, для которого существует компактификация, являющаяся диадическим компактом.

См. также

• Канторова лестница
• Функция Минковского
• Дисконтинуум

Литература

• Шаблон:Книга