Гомотетия

Гомоте́тия (от Шаблон:Lang-grc «одинаковый» + Шаблон:Lang-grc2 «расположенный») — преобразование плоскости (или 3-мерного пространства), заданное центром O и коэффициентом $k\ne 0$, переводящее каждую точку $X$ в точку $X^{\prime }$ такую, что $\overrightarrow{O{X}^{\prime }}=k\overrightarrow{OX}$. При этом центр остаётся на месте. Гомотетию с центром O и коэффициентом k часто обозначают через $H_O^k$.

Свойства

• Является частным случаем преобразования подобия: в общем случае при преобразовании подобия все векторы по определению просто пропорционально изменяют свою длину, а при гомотетии векторы остаются коллинеарны самим себе, какими они стали после преобразования. Поэтому вместо «коэффициент гомотетии $k$» можно говорить «коэффициент подобия $k$».
• Если коэффициент гомотетии равен 1, то гомотетия является тождественным преобразованием: образ каждой точки совпадает с ней самой.
• Если коэффициент гомотетии равен −1, то гомотетия является центральной симметрией.
• Если на рисунке выше стороны подобных многоугольников относятся как $A^{\prime }{B}^{\prime }/AB=B^{\prime }{C}^{\prime }/BC=k$, то их площади будут относиться как $k^2$ (на плоскости и 3-мерном пространстве это утверждение представляет собой закон квадрата — куба).
• Композиция гомотетий с коэффициентами $k_1$ и $k_2$, произведение которых не равно единице, — это гомотетия с коэффициентом $k_1{k}_2$, центр которой лежит на одной прямой с центрами двух данных гомотетий.

Вариации и обобщения

• Шаблон:Anchor2 называют композицию гомотетии и поворота, имеющих общий центр. Порядок, в каком берётся композиция, несущественен, так как $R_O^{\phi }\circ H_O^k=H_O^k\circ R_O^{\phi }$. Коэффициент поворотной гомотетии можно считать положительным, так как $R_O^{180^{\circ }}\circ H_O^k=H_O^{-k}$.

См. также

• Аффинное преобразование
• Коллинеарность
• Непрерывное отображение
• Отношение направленных отрезков
• Подобие
• Гипотеза Хадвигера (комбинаторная геометрия)
• Лемма Архимеда
• Теорема Монжа