Среднее геометрическое

Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально:

$G(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}={\left(\prod _{i=1}^n{x}_i\right)}^{1/n}$

Среднее геометрическое двух чисел также называется их средним пропорциональным, поскольку среднее геометрическое $g$ двух чисел $a_1$ и $a_2$ обладает следующим свойством: $\frac{a_1}{g}=\frac{g}{a_2}$, то есть среднее геометрическое относится к первому числу так же, как второе число к среднему геометрическому.

Свойства

• Так же, как и любое другое среднее значение, среднее геометрическое лежит между минимумом и максимумом из всех чисел:

$\min (x_1,x_2,\dots ,x_n)⩽G(x_1,x_2,\dots ,x_n)⩽\max (x_1,x_2,\dots ,x_n).$

• Среднее геометрическое двух чисел $a=A_0,b=G_0$ является средним арифметическим-гармоническим этих чисел, то есть равно пределу двух последовательностей:

$A_i=\frac{A_{i-1}+G_{i-1}}{2},G_i=\sqrt{A_{i-1}{G}_{i-1}}.$

• Среднее геометрическое двух чисел равно среднему геометрическому их среднего арифметического и среднего гармонического.
• Десятичный логарифм среднего геометрического нескольких чисел является средним арифметическим десятичных логарифмов этих чисел. Поскольку десятичный логарифм показывает порядок величины числа в десятичной системе, то среднее геометрическое является средним по порядку величины. Например, для чисел 2 (~$10^0$) и 9000 (~$10^4$) среднее арифметическое - 4501 ~ $10^4$, среднее гармоническое - $\approx$4 ~ $10^0$, а среднее геометрическое - $\approx$134 ~ $10^2$.

Среднее геометрическое взвешенное

Шаблон:Main Среднее геометрическое взвешенное набора вещественных чисел $x_1,\dots ,x_n$ с вещественными весами $w_1,\dots ,w_n$ определяется как

$\overline{x}={\left(\prod _{i=1}^n{x}_i^{w_i}\right)}^{1/\sum _{i=1}^n{w}_i}=\exp (\frac{1}{\sum _{i=1}^n{w}_i}\sum _{i=1}^n{w}_i\ln x_i).$

В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому.

В геометрии

Среднее геометрическое отрезков:
$BH=\sqrt{AH\cdot HC}=\sqrt{ab}$

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, и тогда высота, восстановленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину.

Расстояние до горизонта сферы есть среднее геометрическое между расстоянием до самой ближней точки сферы и расстоянием до самой дальней точки сферы.

Обобщения

• Среднее геометрическое можно рассматривать как предел средних степенных $A_g(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt[g]{\frac{x_1^g+\dots +x_n^g}{n}}$ при $g\to 0$.
• Среднее геометрическое является средним Колмогорова при $\varphi (x)={\log }_{a}x$.

См. также

• Геометрическая пропорция
• Геометрическая прогрессия
• Неравенство Швейцера