Предел числовой последовательности

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, число $a$ называется пределом последовательности $\{x_n\}$, если для любого $\epsilon >0$ существует номер $N_{\epsilon }$, зависящий от $\epsilon$, такой, что для любого $n>N_{\epsilon }$ выполняется неравенство $|x_n-a|<\epsilon$.

В случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.

Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению. Система счисления предоставляет такую последовательность уточнений. Целые и рациональные числа описываются периодическими последовательностями приближений, в то время как иррациональные числа описываются непериодическими последовательностями приближений. В численных методах, где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в виде цепных дробей.

История

Понятие предела последовательности использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

Определение

Число $a\in ℝ$ называется пределом числовой последовательности $\{x_n\}$, если последовательность $\{x_n-a\}$ является бесконечно малой, то есть все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a\iff \mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N(\epsilon )\in \mathbb{N}:n⩾N\Rightarrow |x_n-a|<\epsilon$

(для всякого малого эпсилон найдётся номер, начиная с которого элементы последовательности будут отличаться от предела меньше чем на эпсилон)

Если число $a\in ℝ$ является пределом числовой последовательности $\{x_n\}$, то говорят также, что последовательность $\{x_n\}$ сходится к $a$. Если никакое вещественное число не является пределом последовательности $\{x_n\}$, её называют расходящейся.

Для некоторых последовательностей предел полагают равным бесконечности. А именно, говорят, что последовательность $\{x_n\}$ стремится к бесконечности, если для любого вещественного числа все члены последовательности, начиная с некоторого, оказываются по модулю больше этого числа. Формально,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }E>0\mathrm{\exists }N(E)\in \mathbb{N}:\mathrm{\forall }n⩾N\Rightarrow |x_n|>E$

Кроме того, если все элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=+\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }E>0\mathrm{\exists }N(E)\in \mathbb{N}:\mathrm{\forall }n⩾N\Rightarrow x_n>E$

Если же элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=-\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }E>0\mathrm{\exists }N(E)\in \mathbb{N}:\mathrm{\forall }n⩾N\Rightarrow x_n<-E$

Любая последовательность, стремящаяся к бесконечности — неограниченная. Однако обратное неверно.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей.

Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек (что равносильно, наибольший частичный предел).

Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.

Обозначения

Тот факт, что последовательность $\{x_n\}$ сходится к числу $a$ обозначается одним из следующих способов:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a$

или

• $x_n\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}a$

Свойства

Существуют определённые особенности для предела последовательностей вещественных чисел.

Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.

Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из приводимых ниже (доказуемых по определению) свойств предела.

Свойства

• Единственность предела.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=b\Rightarrow a=b$

Арифметические свойства

• взятия предела числовой последовательности является линейным, то есть проявляет два свойства линейных отображений.
  • Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.

    $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(x_n+y_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n$

  • Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.

    $\mathrm{\forall }k\in ℝ:\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }k{x}_n=k\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n$

• Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.

  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(x_n\cdot y_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n$

• Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.

  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\frac{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n}{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{y}_n}$

Свойства сохранения порядка

• Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, не превышают некоторого числа, то и предел этой последовательности также не превышает этого числа.

  $\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n⩾N:x_n⩽a\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n⩽a$

• Если некоторое число не превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то оно также не превышает и предела этой последовательности.

  $\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n⩾N:x_n⩾a\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n⩾a$

• Если некоторое число строго превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то предел этой последовательности не превышает этого числа.

  $\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n⩾N:x_n<a\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n⩽a$

• Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, строго превышают некоторое число, то это число не превышает предела этой последовательности.

  $\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n⩾N:x_n>a\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n⩾a$

• Если, начиная с некоторого номера, все элементы одной сходящейся последовательности не превышают соответствующих элементов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности не превышает предела второй.

  $\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n⩾N:x_n⩽y_n\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n⩽\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n$

• Для числовых последовательностей справедлива теорема о двух милиционерах (принцип двустороннего ограничения).

  $\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n⩾N:x_n⩽z_n⩽y_n\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n⩽\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}_n⩽\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n$

Другие свойства

• Сходящаяся числовая последовательность имеет только один предел.

  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a\wedge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=b\Rightarrow a=b$

• Замкнутость. Если все элементы сходящейся числовой последовательности лежат на некотором отрезке, то на этом же отрезке лежит и её предел.

  $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:x_n\in [a,b]\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n\in [a,b]$

• Предел последовательности из одного и того же числа равен этому числу.

  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }x=x$

• Замена или удаление конечного числа элементов в сходящейся числовой последовательности не влияет на её предел.

• У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.

• Имеет место теорема Штольца.

• Если у последовательности $x_n$ существует предел, то последовательность средних арифметических $\frac{x_1+\dots +x_n}{n}$ имеет тот же предел (следствие из теоремы Штольца).

• Если у последовательности чисел $\{x_n\}$ существует предел $x$, и если задана функция $f(x)$, определённая для каждого $x_n$ и непрерывная в точке $x$, то

  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=f(x)$

Примеры

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(-1{)}^n}{n}=0$

• $\mathrm{\forall }q\in ℝ:\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{q^n}{n!}=0$

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{n}=1$

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n=e$

• $\mathrm{\forall }a\in ℝ\setminus \{0\}:\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n}{\underbrace{\sqrt{a+\sqrt{a+\cdots +\sqrt{a}}}}}=\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=x\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{\prod _{k=1}^n{x}_k}=x$

• $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:x_n>0\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_{n+1}}{x_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{x_n}$

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n=+\mathrm{\infty }$

• $\nexists \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(-1{)}^n$

Случай комплексных чисел

Комплексное число $a$ называется пределом последовательности $\{z_n\}$, если для любого положительного числа $\epsilon$ можно указать такой номер $N=N(\epsilon )$, начиная с которого все элементы $z_n$ этой последовательности удовлетворяют неравенству
$|z_n-a|<\epsilon$ при $n⩾N(\epsilon )$

Последовательность $\{z_n\}$, имеющая предел $a$, называется сходящейся к числу $a$, что записывается в виде $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{z}_n=a$.

Примеры

Не у всякой ограниченной последовательности существует предел. Например, если взять в качестве пространства множество вещественных чисел со стандартной топологией, а в качестве $x_n$ последовательность $x_n=(-1{)}^n$, то у неё не будет предела (однако у неё можно найти верхний и нижний пределы, $1,-1$, то есть пределы её подпоследовательностей — частичные пределы).

См. также

• Частичный предел
• Замечательные пределы
• Фундаментальная последовательность
• Ряд
• Предел функции
• Неопределённости пределов
• Сравнение бесконечно малых величин
• Последовательность