Статистика (функция выборки)

Шаблон:О Статистика — измеримая числовая функция от выборки, не зависящая от неизвестных параметров распределения элементов выборки.

Определение

Пусть задана случайная выборка $x^m=(x_1,\dots ,x_m)$ наблюдений $x_i\in X$. Как правило, поскольку речь идёт о задачах математической статистики, распределение элементов этой выборки известно исследователю не полностью (например, содержит неизвестные числовые параметры).

Статистикой называется произвольная измеримая функция выборки $T:X^m\to ℝ$, которая не зависит от неизвестных параметров распределения.

Условие измеримости статистики означает, что эта функция является случайной величиной, то есть определены вероятности её попадания в интервалы и другие борелевские множества на прямой.

Наиболее содержательный аспект данного понятия, отличающий его от прочих случайных величин, зависящих от выборки, заключается в том, что от неизвестных параметров эта функция не зависит, то есть исследователь может по имеющимся в его распоряжении данным найти значение этой функции, а, следовательно — основывать на этом значении оценки и прочие статистические выводы.

Пример

Предположим, что имеется числовая выборка $x^m=(x_1,x_2,\dots ,x_m)$, элементы которой имеют нормальное распределение $𝒩(a,\sigma )$. Допустим, что значение параметра $a$ (математического ожидания) известно, то есть это некоторое конкретное число, а значение среднеквадратичного отклонения $\sigma$ неизвестно (и его требуется оценить). Для этого может быть использована следующая статистика:

$T=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(x_i-a{)}^2.$

Однако если значение параметра $a$ также неизвестно, то данная функция не является статистикой. В этом случае её по-прежнему можно исследовать теоретически (например, доказывать, что математическое ожидание $T$ равно ${\sigma }^2$), однако вычислить её числовое значение нельзя, поэтому для получения непосредственных статистических выводов она не может быть использована. В этом случае оценка параметра $\sigma$ строится другим способом (см. ниже).

Ниже приведены примеры некоторых часто используемых статистик. Все они предполагают, что наблюдения $x_i$ являются числовыми, $X=ℝ$.

В последние годы активно развивается также статистика объектов нечисловой природы.

Статистики, используемые для оценки моментов (выборочные моменты)

• Выборочное среднее:

  $\overline{x}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{x}_i.$

• Выборочная дисперсия:

  $s^2=s_m^2=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{(x_i-\overline{x})}^2$.

• Несмещённая оценка дисперсии:

  $s^2=s_m^2=\frac{1}{m-1}\sum _{i=1}^m{(x_i-\overline{x})}^2.$

• Выборочный момент $k$-го порядка (выборочное среднее — момент первого порядка):

  $M_k=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{x}_i^k$.

• Выборочный центральный момент $k$-го порядка (выборочная дисперсия — центральный момент второго порядка):

  ${\stackrel{\circ }{M}}_k=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{(x_i-\overline{x})}^k$.

• Несмещённые оценки центральных моментов:

  ${\stackrel{\bullet }{M}}_2=\frac{m}{m-1}{\stackrel{\circ }{M}}_2$;

  ${\stackrel{\bullet }{M}}_3=\frac{m^2}{(m-1)(m-2)}{\stackrel{\circ }{M}}_3$;

  ${\stackrel{\bullet }{M}}_4=\frac{m(m^2-2m+3){\stackrel{\circ }{M}}_4+3m(2m-3){\stackrel{\circ }{M}}_2^2}{(m-1)(m-2)(m-3)}$.

Выборочный коэффициент асимметрии

Выборочный коэффициент асимметрии:

${\gamma }_1=\frac{{\stackrel{\bullet }{M}}_3}{{\stackrel{\bullet }{M}}_2^{3/2}}=\frac{\sqrt{m(m-1)}}{m-2}\left(\frac{{\stackrel{\circ }{M}}_3}{{\stackrel{\circ }{M}}_2^{3/2}}\right)$.

Если плотность распределения симметрична, то ${\gamma }_1=0$. Если левый хвост распределения «тяжелее», то ${\gamma }_1>0$, если «тяжелее» правый хвост — то ${\gamma }_1<0$.

Выборочный коэффициент асимметрии используется для проверки распределения на симметричность, а также для грубой предварительной проверки на нормальность. Он позволяет отвергнуть, но не позволяет принять гипотезу нормальности.

Выборочный коэффициент эксцесса

Выборочный коэффициент эксцесса:

${\gamma }_2=\frac{{\stackrel{\bullet }{M}}_4}{{\stackrel{\bullet }{M}}_2^2}-3=\frac{m^2-1}{(m-2)(m-3)}(\frac{{\stackrel{\circ }{M}}_4}{{\stackrel{\circ }{M}}_2^2}-3+\frac{6}{m+1})$.

Нормальное распределение имеет нулевой эксцесс: ${\gamma }_2=0$.

Если хвосты распределения «легче», а пик «острее», чем у нормального распределения, то ${\gamma }_2>0$.

Если хвосты распределения «тяжелее», а пик более «приплюснутый», чем у нормального распределения, то ${\gamma }_2<0$.

Выборочный коэффициент эксцесса часто используется для грубой предварительной проверки на нормальность. Он позволяет отвергнуть, но не позволяет принять гипотезу нормальности.

Статистики, связанные с эмпирическим распределением

Эмпирическое распределение случайной величины $x$, построенное по случайной выборке $x^m$, есть функция:

$F_m(x)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[x_i<x]$.

При любом фиксированном $a\in ℝ$ значение $F_m(a)$ можно рассматривать как статистику.

Порядковые статистики

Порядковые статистики основаны на вычислении вариационного ряда, который получается из исходной выборки $x^m=(x_1,\dots ,x_m)$ путём упорядочивания её элементов по возрастанию:

$x^{(1)}⩽x^{(2)}⩽\cdots ⩽x^{(m)}$.

Значение $x^{(k)}$ называется $k$-й порядковой статистикой.

• Выборочный $\lambda$-квантиль при $0<\lambda <1$:

  $x^{(m\lambda +1)}.$

• Размах выборки:

  $\mathrm{\Delta }=x^{(m)}-x^{(1)}$.

• Выборочная медиана:

  $\mu =\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}(x^{(k)}+x^{(k+1)}),& m=2k;\\ x^{(k+1)},& m=2k+1\end{array}$.

Ранговые статистики

Значение $r_i$ называется рангом элемента выборки $x_i$, если $x_i=x^{(r_i)}$.

Ранговой статистикой называется любая статистика, которая является функцией от рангов элементов $r_i$, а не от их значений $x_i$. Переход от значений к их рангам позволяет строить непараметрические статистические критерии, которые не опираются на априорные предположения о функции распределения выборки. Они имеют гораздо более широкую область применения, чем параметрические статистические критерии.

Средний ранг

Аналогом выборочного среднего является средний ранг:

$R=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{r}_i.$

Линейные ранговые статистики

Многие используемые на практике ранговые статистики принадлежат семейству линейных ранговых статистик, либо асимптотически приближаются к линейным при $m\to \mathrm{\infty }$. Линейная ранговая статистика в общем случае имеет вид:

$T=\sum _{i=1}^{m}a(i,r_i)$,

где $a(i,j)$ — произвольная заданная числовая матрица размера $m\times m$.

Литература

• Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю. В. Прохорова. — М.: Большая российская энциклопедия, 2003. — 912 с.
• Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006.
• Лекционные курсы НОЦ/ Математический институт им. В. А. Стеклова РАН (МИАН). – М.: МИАН, 2009. Вып. 14: Лекции по асимптотической теории ранговых критериев / Чибисов Д. М. – 176 с.
• Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. –3-е изд. перераб. и доп.- М.: Радио и связь, 1989. – 656с.: ил. ISBN 5-256-00264-3

Ссылки

• Статистика: функция выборки