Модифицированный потенциал Пёшль — Теллера

Форма модифицированного потенциала Пёшль-Теллера

Модифицированный потенциал Пёшль — Теллера — функция потенциальной энергии элетростатического поля, предложенная физиками Гертой Пёшль и Эдвардом Теллером как приближение для энергии двухатомной молекулы, альтернативный потенциалу Морзе

$U(x)=\frac{-U_0}{{\mathrm{c}\mathrm{h}}^{2}ax}=-U_0{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}}^{2}ax$

Глубина потенциальной ямы $U_0$ обычно параметризуется в виде:

$U_0=\frac{{\hslash }^2}{2m}{a}^2\lambda (\lambda -1)$.

Решение уравнения Шрёдингера с потенциальной энергией в форме модифицированной ямы Пёшль — Теллера представляется при помощи функций Лежандра.

Уравнение Шрёдингера с модифицированным потенциалом Пёшль — Теллера

Стационарное уравнение Шрёдингера с модифицированным потенциалом Пёшль — Теллера имеет вид:

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\Psi }}^{″}(x)-\frac{{\hslash }^2}{2m}{a}^2\frac{\lambda (\lambda -1)}{{\mathrm{c}\mathrm{h}}^{2}ax}\mathrm{\Psi }(x)=E\mathrm{\Psi }(x).$

Если ввести обозначение $k=\sqrt{2mE/{\hslash }^2}$, то оно примет вид:

${\mathrm{\Psi }}^{″}(x)+(k^2+a^2\frac{\lambda (\lambda -1)}{{\mathrm{c}\mathrm{h}}^{2}ax})\mathrm{\Psi }(x)=0.$

Решение через гипергеометрические функции

После замены переменных

$y=\mathrm{c}{\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}ax$

получим

$y(1-y){\mathrm{\Psi }}^{″}(y)+(\frac{1}{2}-y){\mathrm{\Psi }}^{\prime }(y)-(\frac{k^2}{4a^2}-\frac{\lambda (\lambda -1)}{4y})\mathrm{\Psi }(y)=0.$

Если подставить решение в виде

$\mathrm{\Psi }(y)=y^{\frac{\lambda }{2}}v(y)$,

то уравнение приводится к гипергеометрическому виду

$y(1-y)v^{″}(y)+((\lambda +\frac{1}{2})-(\lambda -1)y)v^{\prime }(y)-\frac{1}{4}({\lambda }^2+\frac{k^2}{a^2})v=0$

Обозначая

$a=\frac{1}{2}(\lambda +i\frac{k}{a})b=\frac{1}{2}(\lambda -i\frac{k}{a})$

общее решение примет вид

$v(y)=A{}_2{F}_1(a,b;\frac{1}{2};1-y)+iB(1-y{)}^{\frac{1}{2}}{}_2{F}_1(a+\frac{1}{2},b+\frac{1}{2};\frac{3}{2};1-y)$

В качестве фундаментальной системы решений исходного уравнения удобно выбрать чётное и нечётное решение, то есть собственные функции оператора чётности:

$\hat{P}{\mathrm{\Psi }}_{\pm }(x)=\pm {\mathrm{\Psi }}_{\pm }(x),$

Чётное решение соответствует $A=1$ и $B=0$

${\mathrm{\Psi }}_{+}(x)={\mathrm{c}\mathrm{h}}^{\lambda }ax{}_2{F}_1(a,b;\frac{1}{2};-{\mathrm{s}\mathrm{h}}^{2}ax)$

Нечётное решение соответствует $A=0$ и $B=1$

${\mathrm{\Psi }}_{-}(x)={\mathrm{c}\mathrm{h}}^{\lambda }ax\mathrm{s}\mathrm{h}ax{}_2{F}_1(a+\frac{1}{2},b+\frac{1}{2};\frac{3}{2};-{\mathrm{s}\mathrm{h}}^{2}ax)$

Энергия связанных состояний

Для удобства обозначим $k=i\kappa$, тогда энергия запишется как

$E=-\frac{{\hslash }^2{\kappa }^2}{2m}.$

Параметры гипергеометрических функций примут вид

$a=\frac{1}{2}(\lambda -\frac{\kappa }{a})b=\frac{1}{2}(\lambda +\frac{\kappa }{a}).$

Чтобы получить нормируемые функции необходимо исключить члены асимптотик неограниченные на бесконечности, для нечётных функций это условие примет вид

$\frac{\kappa }{a}=\lambda -2-2k$,

для чётных

$\frac{\kappa }{a}=\lambda -1-2k$

Объединяя эти условия, получим уровни энергии:

$E_n=-\frac{{\hslash }^2{a}^2}{2m}(\lambda -1-n{)}^2,n⩽\lambda -1,n\in {\mathbb{Z}}_{+}$

Коэффициенты отражения и прохождения

Коэффициенты отражения и прохождения имеют вид:

$R=\frac{1}{1+p^2},T=\frac{p^2}{1+p^2},$

где введено обозначение

$p=\frac{\mathrm{s}\mathrm{h}\frac{\pi k}{a}}{\sin \pi \lambda }.$

При $\lambda \in {\mathbb{Z}}_{+}$ получим, что $p=\mathrm{\infty }$ и

$R=0,T=1.$

Таким образом, при $\lambda \in \mathbb{N}$ модифицированный потенциал Пёшль — Теллера становится безотражательным.

Решение через функции Лежандра

Заменой $u=\mathrm{t}\mathrm{h}ax$ уравнение Шрёдингера может быть сведено к уравнению

$((1-u^2){\mathrm{\Psi }}^{\prime }(u){)}^{\prime }+\lambda (\lambda -1)\mathrm{\Psi }(u)+{\left(\frac{k}{a}\right)}^2\frac{1}{1-u^2}\mathrm{\Psi }(u)=0.$

Решение этого уравнения может быть представлено через функции Лежандра

$\mathrm{\Psi }(u)=A{P}_{\lambda -1}^{\mu }(u)+B{Q}_{\lambda -1}^{\mu }(u),$

где $\mu =ik/a$.

См. также

• Потенциал Пёшль — Теллера

Литература

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга