Аксиомы Уайтмана

Аксиомы Уайтмана — исходные теоретические положения, лежащие в основе аксиоматического подхода в квантовой теории поля, использующего математическое описание квантованных полей при помощи представления ГейзенбергаШаблон:SfnШаблон:Sfn и вакуумных средних от произведений операторов поля (функций Уайтмана)Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Названы в честь Шаблон:Не переведено 5, который сформулировал аксиомы в 1950-х годах. Широкую известность они получили в 1960-х годахШаблон:Sfn после того, как на их основе была разработана теория рассеяния Хаага — РюеляШаблон:Sfn.

Основные идеи

Физические состояния описываются единичными лучами (векторами с единичной нормой и отличающимся только умножением на комплексное число модуля единица) в сепарабельном гильбертовом пространстве.Шаблон:Sfn Их релятивистские преобразования задаются Шаблон:Не переведено 5 группы ПуанкареШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Квантовые поля описываются операторными обобщёнными функциями, удовлетворяющим ковариантным Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn.

Предположение спектральности означает, что спектр оператора четырёхимпульса не выходит за пределы светового конуса будущегоШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Для избегания сингулярностей при описании физических полей используется идея их размазывания при помощи финитной функцииШаблон:Sfn. Поскольку размазанные поля могут достигать произвольно больших значений, для их описания используются Шаблон:Не переведено 5 с математически строго указанными областями их определенияШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Аксиомы Уайтмана используют принцип локальности или микропричинности, постулируя либо коммутативность, либо антикоммутативность между операторами, описывающими компоненты полей, заданных в точках пространства-времени, разделенных пространственноподобными интервалами Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Постулируется существование, единственность и пуанкаре-инвариантность вакуума, описываемого вакуумным векторомШаблон:Sfn. Вакуум является «циклическим», то есть набор всех векторов, получаемых путем действия на вакуумное состояние полиномов, составленных из операторов размазанного поля, является плотным подмножеством всего гильбертова пространства{Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Аксиомы

W0 (предположения релятивистской квантовой механики)

Чистые состояния физической системы задаются единичными векторами в сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве Шаблон:SfnШаблон:Sfn. Скалярное произведение векторов гильбертова пространства $\mathrm{\Psi }$ и $\mathrm{\Phi }$ обозначается как $⟨\mathrm{\Psi },\mathrm{\Phi }⟩$Шаблон:Sfn, а норма $\mathrm{\Phi }$ обозначается как $\Vert \mathrm{\Phi }\Vert$Шаблон:Sfn. Вероятность перехода между двумя чистыми состояниями, заданными ненулевыми векторами $\mathrm{\Psi }$ и $\mathrm{\Phi }$ определена как: $P(\mathrm{\Psi },\mathrm{\Phi })=\frac{|⟨\mathrm{\Psi },\mathrm{\Phi }⟩{|}^2}{\Vert \mathrm{\Psi }{\Vert }^2\Vert \mathrm{\Phi }{\Vert }^2}$. Релятивистский закон преобразования состояний физической системы задается унитарным представлением спинорной группы ПуанкареШаблон:SfnШаблон:Sfn. Спектр оператора энергии-импульса содержится в световом конусе будущего:Шаблон:Sfn

$P_0\ge 0,P_0^2-P_j{P}_j\ge 0.$

Существует единственное состояние, называемое вакуумом, представленное лучом в гильбертовом пространстве, инвариантное относительно действия группы Пуанкаре.Шаблон:SfnШаблон:Sfn

W1 (предположения относительно области определения и непрерывности поля)

Для каждой финитной функции f, то есть для функции с компактным носителем и непрерывными производными любого порядка, существует набор операторов $A_1(f),\dots ,A_n(f)$, которые вместе со своими сопряженными, определены на плотном подмножестве гильбертова пространства состояний, содержащем вакуум.Шаблон:Sfn Условие цикличности вакуума: множество линейных комбинаций векторов, порожденных полиномами, составленными из операторов поля, действующими на вакуум, плотно в гильбертовом пространстве.Шаблон:SfnШаблон:Sfn

W2 (закон преобразования поля)

Поля ковариантны относительно действия группы Пуанкаре и преобразуются согласно некоторому представлению S группы SL(2, C):Шаблон:SfnШаблон:Sfn

$U(a,L{)}^{†}A(x)U(a,L)=S(L)A(L^{-1}(x-a)).$

W3 (локальная коммутативность или микроскопическая причинность)

Если носители двух полей разделены пространственноподобным интервалом, то поля либо коммутируют, либо антикоммутируют.Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Следствия аксиом

Из аксиом Уайтмана следуют некоторые общие теоремы:

• Теорема CPT — существует общая симметрия при изменении четности, обращении частица-античастица и инверсии времени (как выяснилось, ни одна из этих симметрий сама по себе не существует в природе).

• Связь между спином и статистикой — поля с полуцелым спином антикоммутируют, а поля с целочисленным спином коммутируют (аксиома W3).

• Невозможность Шаблон:Не переведено 5 — если два наблюдателя разделены пространственноподобным интервалом, то действия одного наблюдателя (включая как измерения, так и изменения гамильтониана) не влияют на статистику измерений другого наблюдателя.

Существование теорий, удовлетворяющих аксиомам Уайтмана

Можно обобщить аксиомы Уайтмана на их применение в пространстве-времени размерности, отличной от 4. Были построены теории взаимодействующих полей, удовлетворяющие аксиомам Уайтмана, в пространстве-времени размерности 2Шаблон:Sfn и 3Шаблон:Sfn. В настоящее время отсутствует доказательство, что аксиомы Уайтмана могут быть выполнены для теорий взаимодействующих полей в пространстве-времени размерности 4Шаблон:Sfn. Таким образом, аксиомы Уайтмана не могут использоваться в качестве математически строгой основы Стандартной модели физики элементарных частиц. Назначен Шаблон:Не переведено 5 за доказательство того, что аксиомы Уайтмана могут быть выполнены для калибровочных теорий с дополнительным требованием предсказания массы легчайшей элементарной частицы.

См. также

• Шаблон:Не переведено 5
• Шестая проблема Гильберта
• Аксиоматическая квантовая теория поля
• Алгебраическая квантовая теория поля

Дальнейшее чтение

• Шаблон:Не переведено 5, «Hilbert’s sixth problem: Mathematical treatment of the axioms of physics», in F. E. Browder (ed.): Vol. 28 (part 1) of Proc. Symp. Pure Math., Amer. Math. Soc., 1976, pp. 241—268.
• Р. Йост Общая теория квантованных полей. — Шаблон:М., Мир, 1967.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга