Аналитический сигнал

Аналитический сигнал (аналитическое представление сигнала) — используемое в теории обработки сигналов математическое представление аналогового сигнала в виде комплекснозначной аналитической функции времени. Обычный, действительный сигнал x является при этом действительной частью аналитического представления x_a.

Идея преобразования — оставить лишь неотрицательные частоты в спектре сигнала, достаточные для его восстановления в силу эрмитовой симметрии: $X(-f)=\overline{X(f)}$.

Аналитический сигнал является обобщением понятия комплексной амплитуды на случай сигналов, отличных от гармонического.

Определение

Пусть x(t) — представляющая сигнал действительнозначная функция, преобразование Фурье (т.е. спектр) которой обозначим X(f),, а u(f) — функция Хевисайда.

Тогда:

$\begin{array}{cc}{X}_{\mathrm{a}}(f)& \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\{\begin{array}{cc}2X(f),& \text{for }f>0,\\ X(f),& \text{for }f=0,\\ 0,& \text{for }f<0,\end{array}\\ & =X(f)\cdot 2\mathrm{u}(f)\end{array}$

содержит лишь неотрицательную часть спектра X(f).

Подвергая полученный спектр $X_{\mathrm{a}}(f)$ обратному преобразованию Фурье, мы и получаем аналитический сигнал:

$\begin{array}{cc}{x}_{\mathrm{a}}(t)& =\underset{x(t)}{\underbrace{{ℱ}^{-1}\{X(f)\}}}\ast \underset{\delta (t)+j\cdot \frac{1}{\pi t}}{\underbrace{{ℱ}^{-1}\{2\mathrm{u}(f)\}}}\\ & =x(t)+j\underset{\hat{x}(t)}{\underbrace{[x(t)\ast \frac{1}{\pi t}]}},\end{array}$

где * — свёртка, $\hat{x}(t)$ — преобразование Гильберта функции $x(t),$ а $j$ означает мнимую единицу.

Примеры

Пусть  $x(t)=\cos ({\omega }_{0}t)$ для некоторой частоты ${\omega }_0>0$

Тогда:

$\hat{x}(t)=\cos ({\omega }_{0}t-\begin{array}{c}\frac{\pi }{2}\end{array})=\sin ({\omega }_{0}t)$

$x_{\mathrm{a}}(t)=\cos ({\omega }_{0}t)+j\cdot \sin ({\omega }_{0}t)=e^{j{\omega }_{0}t}$

Это комплексная функция с возрастающим по времени аргументом.

Практические применения

Устранение «отрицательных частот» используется в аналоговой передаче звука (АМ-радиовещание, аналоговая телефонная связь) для экономии полосы частот.

См. также

• Комплексное сопротивление

Внешние ссылки

• Преобразование Гильберта. Аналитический сигнал.
• Преобразование Гильберта. Аналитический сигнал.