Аналитичность голоморфных функций

В комплексном анализе функция $f$ комплексной переменной называется

• голоморфной в точке $a$, если она дифференцируема в некоторой открытой окрестности
• аналитической в точке $a$, если существует некоторая окрестность точки $a$, в которой $f$ совпадает со сходящимся степенным рядом

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a{)}^n$

Одним из самых важных результатов комплексного анализа является теорема о том, что голоморфные функции являются аналитическими. Следствия этой теоремы включают, среди прочих, следующие результаты:

• теорема единственности: две голоморфные функции, значения которых совпадают в каждой точке множества $S$ (у которого имеется предельная точка внутри пересечения областей определения функций), также совпадают в любом открытом связном подмножестве их областей определения, которое содержит $S$.
• так как степенной ряд бесконечно дифференцируем, соответствующая ему голоморфная функция тоже является бесконечно дифференцируемой (в отличие от случая дифференцируемой действительной функции).
• радиус сходимости всегда совпадает с расстоянием от центра а до ближайшей сингулярной точки. Если таковых не имеется (т. е. если $f$ – целая функция), то радиус сходимости равен бесконечности.
• целая голоморфная функция не может быть финитной, т.е. не может иметь в качестве (компактного) носителя связное открытое подмножество комплексной плоскости.

Доказательство

Доказательство, впервые предложенное Коши, основано на интегральной формуле Коши и на разложении в степенной ряд выражения

$\frac{1}{w-z}$

Пусть $D$ обозначает открытый диск с центром в точке $a$. Предположим, что $f$ является дифференцируемой всюду в открытой окрестности замыкания $D$. Пусть $C$ обозначает положительно ориентированную окружность, которая является границей $D$, a $z$ – точку в $D$. Начиная с интегральной формулы Коши, можно записать

$\begin{array}{cc}f(z)& =\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\int }\frac{f(w)}{w-z}\mathrm{d}w\\ & =\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\int }\frac{f(w)}{(w-a)-(z-a)}\mathrm{d}w\\ & =\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\int }\frac{1}{w-a}\cdot \frac{1}{1-\frac{z-a}{w-a}}f(w)\mathrm{d}w\\ & =\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\int }\frac{1}{w-a}\cdot \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{z-a}{w-a}\right)}^{n}f(w)\mathrm{d}w\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\int }\frac{(z-a{)}^n}{(w-a{)}^{n+1}}f(w)\mathrm{d}w.\end{array}$

Перестановка операций интегрирования и бесконечной суммы справедлива, так как выражение ограничено некой положительной константой $M$ для любых $w$ на $C$, в то время как неравенство

$\left|\frac{z-a}{w-a}\right|\le r<1$

также справедливо на $C$ при некотором положительном $r$. Таким образом,

$|\frac{(z-a{)}^n}{(w-a{)}^{n+1}}f(w)|\le M{r}^n$

на $C$. Ряд сходится равномерно на $C$ по признаку сходимости Вейерштрасса, а значит знаки суммы и интеграла могут быть переставлены.

Так как выражение $(z-a{)}^n$ не зависит от переменной, его можно вынести за знак интеграла:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(z-a{)}^n\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\int }\frac{f(w)}{(w-a{)}^{n+1}}\mathrm{d}w$.

Таким образом, разложение функции $f$ приобретает искомую форму степенного ряда от $z$:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a{)}^n$

с коэффициентами

$c_n=\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\int }\frac{f(w)}{(w-a{)}^{n+1}}\mathrm{d}w.$

Примечания

• Так как степенные ряды можно дифференцировать почленно, приведенные выше рассуждения можно применить в обратном направлении к разложению в ряд выражения

$\frac{1}{(w-z{)}^{n+1}}$,

получив, таким образом,

$f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}\underset{C}{\int }\frac{f(w)}{(w-a{)}^{n+1}}dw.$

Это интегральная формула Коши для производных. Таким образом, приведенный выше степенной ряд является рядом Тейлора функции $f$.

• Доказательство справедливо только если точка $z$ находится ближе к центру $a$ диска $D$, чем к любой сингулярной точке $f$. Следовательно, радиус сходимости ряда Тейлора не может быть меньше, чем расстояние от $a$ до ближайшей особой точки функции. (Очевидно, что радиус также не может быть больше этого расстояния, поскольку степенной ряд не имеет особых точек в пределах их радиусов сходимости.)
• Особый случай тож теоремы из предыдущего замечания вытекает особый случай теоремы о единственности голоморфной функции. Если две голоморфные функции совпадают на (возможно, очень небольшой) открытой окрестности $U$ точки $a$, то они совпадают и на открытом диске $B_d(a)$, где $d$  – расстояние от $a$ до ближайшей особой точки.