Асимптотическая размерность

Асимптотическая размерность метрического пространства — аналог размерности Лебега на большой шкале. Асимптотическая размерность имеет важные приложения в геометрическом анализе и теории индексов.

Понятие асимптотической размерности было введено Михаилом Громовым^[1] в контексте геометрической теории групп, как квазиизометрический инвариант конечно порожденных групп. Как показал Гуолян Юй, конечно порожденные группы конечного гомотопического типа с конечной асимптотической размерностью удовлетворяют гипотезе Новикова.^[2]

Определение

Пусть $X$ — метрическое пространство и $n ⩾ 0$ целое число. Мы говорим, что $asdim (X) ⩽ n$ если для каждого $R ⩾ 1$ существует равномерно ограниченное покрытие $𝒰$ пространсва $X$ такое, что каждый замкнутый $R$ шар в $X$ пересекает не более $n + 1$ подмножеств из $𝒰$ . Здесь равномерно ограниченное означает, что существует $D$ такое, что диаметр любого множества в покрытии не превосходит $D$ .

Асимптотическая размерность $asdim (X)$ определяется как наименьшее целое число, $n ⩾ 0$ такое, что $asdim (X) ⩽ n$ , если таких $n$ не существует, то $asdim (X) : = \infty$ .

Связанные определения

Говорят, что семейство $(X_{i})_{i \in I}$ метрических пространств удовлетворяет $asdim (X) ⩽ n$ равномерно, если для каждого $R ⩾ 1$ и каждого $i \in I$ существует покрытие $𝒰_{i}$ пространства $X_{i}$ множествами диаметра не более $D (R) < \infty$ (независимо от $i$ ) такого, что каждый замкнутый $R$ -шар в $X_{i}$ пересекает не более $n + 1$ подмножеств из $𝒰_{i}$ .

Примеры

Если $X$ - метрическое пространство ограниченного диаметра, то $asdim (X) = 0$ .
$asdim (ℝ) = asdim (ℤ) = 1$ .
$asdim (ℝ^{n}) = n$ .
$asdim (ℍ^{n}) = n$ .
Группа Григорчука имеет бесконечную асимптотическую размерность.
Группа Томпсона $F$ имеет бесконечную асимптотическая размерность так как они содержат подгруппы, изоморфные $ℤ^{n}$ для сколь угодно больших $n$ .

Свойства

Если $Y \subseteq X$ является подпространством метрического пространства $X$ , то $asdim (Y) ⩽ asdim (X)$ .
Для любых метрических пространств $X$ и $Y$ выполняется следующее неравенство
$asdim (X \times Y) ⩽ asdim (X) + asdim (Y)$ .
Если $A, B \subseteq X$ , тогда $asdim (A \cup B) ⩽ \max {asdim (A), asdim (B)}$ .
Если $f : Y \to X$ является грубым вложением (например, квазиизометрическим вложением), то $asdim (Y) ⩽ asdim (X)$ .
Если $X$ и $Y$ являются грубо эквивалентными метрическими пространствами (например, квазиизометрическими метрическими пространствами), то $asdim (X) = asdim (Y)$ .
Если $X$ — метрическое дерево, то $asdim (X) ⩽ 1$ .
Пусть $f : X \to Y$ — липшицево отображение из геодезического метрического пространства $X$ в метрическое пространство $Y$ . Предположим, что для каждого $r > 0$ множества из семейства ${f^{- 1} (B_{r} (y))}_{y \in Y}$ удовлетворяет неравенству $asdim ⩽ n$ равномерно. Тогда $asdim (X) ⩽ asdim (Y) + n$ .^[3]
Если $X$ является метрическим пространством с $asdim (X) < \infty$ , то $X$ допускает грубое (равномерное) вложение в Гильбертово пространство.^[4]
Если $X$ — метрическое пространство ограниченной геометрии с $asdim (X) ⩽ n$ , то $X$ допускает грубое вложение в произведение $n + 1$ локально конечных деревьев.^[5]