Бета-функция Дирихле

Бета-функция Дирихле действительного аргумента x

Бе́та-фу́нкция Дирихле́ (Dirichlet beta function) в математике, иногда называемая бета-функцией Каталана (Catalan beta function) — специальная функция, тесно связанная с дзета-функцией Римана. Она является частным случаем L-функции Дирихле. Она названа в честь немецкого математика Петера Густава Лежён-Дирихле (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet), а альтернативное название — в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана (Eugène Charles Catalan).

Бета-функция Дирихле определяется как

$\beta (s)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^s},$

или, эквивалентным образом, через интегральное представление

$\beta (s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}{e}^{-x}}{1+e^{-2x}}dx,$

где Γ(s) — гамма-функция Эйлера. В обоих случаях предполагается, что Re(s) > 0.

Связь с другими функциями

Альтернативное определение через дзета-функцию Гурвица справедливо на всей комплексной плоскости переменной s:

$\beta (s)=4^{-s}[\zeta (s,\frac{1}{4})-\zeta (s,\frac{3}{4})].$

Бета-функция Дирихле также связана с Шаблон:Iw (Шаблон:Lang-en),

$\beta (s)=2^{-s}\mathrm{\Phi }(-1,s,\frac{1}{2}).$

Это соотношение также верно на всей комплексной плоскости переменной s.

Функциональное соотношение

Соотношение между β(s) и β(1-s) позволяет аналитически продолжить бета-функцию Дирихле на левую часть комплексной плоскости переменной s (то есть для Re(s)<0),

$\beta (s)={\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{s-1}\mathrm{\Gamma }(1-s)\cos \left(\frac{1}{2}\pi s\right)\beta (1-s),$

где Γ(s) — гамма-функция Эйлера.

Частные значения

Частные значения бета-функции Дирихле при целых значения аргумента включают в себя

$\beta (0)=\frac{1}{2},$

$\beta (1)=\frac{1}{4}\pi ,$

$\beta (2)=G,$

$\beta (3)=\frac{1}{32}{\pi }^3,$

$\beta (4)=\frac{1}{768}[{\psi }_3\left(\frac{1}{4}\right)-8{\pi }^4],$

$\beta (5)=\frac{5}{1536}{\pi }^5,$

$\beta (7)=\frac{61}{184320}{\pi }^7,$

$\beta (9)=\frac{1385}{41287680}{\pi }^9,$

где G — постоянная Каталана, а ${\psi }_3(\frac{1}{4})$ — частное значение пентагамма-функции (полигамма-функции третьего порядка).

В общем случае для любого положительного целого k

$\beta (2k)=\frac{1}{2^{4k}(2k-1)!}[{\psi }_{2k-1}\left(\frac{1}{4}\right)-{\psi }_{2k-1}\left(\frac{3}{4}\right)],$

$\beta (2k+1)=\frac{(-1{)}^k{E}_{2k}{\pi }^{2k+1}}{4^{k+1}(2k)!},$

где ${\psi }_{2k-1}(z)\equiv {\psi }^{(2k-1)}(z)$ — полигамма-функция порядка (2k-1), а E_2k — числа Эйлера.

Для отрицательных значений аргумента (для целых неотрицательных k) мы имеем

$\beta (-2k)=\frac{1}{2}{E}_{2k},$

$\beta (-2k-1)=0,$

то есть β(s) равна нулю для всех целых нечётных отрицательных значений аргумента (см. график функции).

Приблизительные значения

s	приблизительное значение β(s)	OEIS
1Шаблон:!!0.7853981633974483096156608Шаблон:!!Шаблон:OEIS2C
2Шаблон:!!0.9159655941772190150546035Шаблон:!!Шаблон:OEIS2C
3Шаблон:!!0.9689461462593693804836348Шаблон:!!Шаблон:OEIS2C
4Шаблон:!!0.9889445517411053361084226Шаблон:!!Шаблон:OEIS2C
5Шаблон:!!0.9961578280770880640063194Шаблон:!!Шаблон:OEIS2C
6Шаблон:!!0.9986852222184381354416008Шаблон:!!Шаблон:OEIS2C
7Шаблон:!!0.9995545078905399094963465Шаблон:!!
8Шаблон:!!0.9998499902468296563380671Шаблон:!!
9Шаблон:!!0.9999496841872200898213589Шаблон:!!
10Шаблон:!!0.9999831640261968774055407Шаблон:!!

Производная бета-функции Дирихле

Для некоторых целых значений аргумента s производная β'(s) может быть вычислена аналитически,

${\beta }^{\prime }(-1)=\frac{2G}{\pi },$

${\beta }^{\prime }(0)=\ln \left(\frac{{\mathrm{\Gamma }}^2(\frac{1}{4})}{2\pi \sqrt{2}}\right),$

${\beta }^{\prime }(1)=\frac{\pi }{4}(\gamma +2\ln 2+3\ln \pi -4\ln \mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4})),$

(см. также OEIS Шаблон:OEIS2C и Шаблон:OEIS2C).

Кроме этого, для целых положительных n производную можно представить в виде бесконечной суммы

${\beta }^{\prime }(n)=-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\ln \left(\frac{(4k+1{)}^{1/(4k+1{)}^n}}{(4k-1{)}^{1/(4k-1{)}^n}}\right).$

См. также

• Дзета-функция Римана
• Постоянная Каталана
• Дзета-функция Гурвица

Литература

• J. Spanier & K. B. Oldham. An Atlas of Functions, Hemisphere, New York, 1987
• Шаблон:MathWorld