Булево кольцо

Булево кольцо — кольцо с идемпотентным умножением, то есть, кольцо $(R,+,\cdot )$, в котором $x^2=x$ для всех $x\in R$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Связь с булевой алгеброй

Самый известный пример булева кольца получается из булевой алгебры $(B,\wedge ,\vee ,\mathrm{\neg })$ введением сложения и умножения следующим образом:

• $x+y=(x\wedge \mathrm{\neg }y)\vee (\mathrm{\neg }x\wedge y)$,
• $x\cdot y=x\wedge y$.

В частности, булеан некоторого множества $X$ образует булево кольцо относительно симметрической разности и пересечения подмножеств. В связи с этим основным примером, вводящим сложение в булевом кольце как «исключающее или» для булевых алгебр, а умножение — как конъюнкцию, для сложения в булевых кольцах иногда используются символ $\oplus$, а для умножения — знаки решёточной нижней грани ($\wedge$, $\cap$, $\sqcap$).

Всякое булево кольцо, полученное таким образом из булевой алгебры, обладает единицей, совпадающей с единицей исходной булевой алгебры. Кроме того, всякое булево кольцо с единицей $(R,+,\cdot ,1)$ однозначно определяет булеву алгебру следующими определениями операций:

• $x\wedge y=x\cdot y$,
• $x\vee y=x+y+xy$,
• $\mathrm{\neg }x=1+x$.

Свойства

В каждом булевом кольце $(R,+,\cdot )$ выполнено $x+x=0$ как следствие идемпотентности относительно умножения:

$x+x=(x+x{)}^2=x+x+x+x$,

и так как $(R,+)$ в кольце является абелевой группой, то можно вычесть компонент $x+x$ из обеих частей этого уравнения.

Всякое булево кольцо коммутативно, что также является следствием идемпотентности умножения:

$x+y=(x+y{)}^2=x^2+xy+yx+y^2=x+y+xy+yx$,

что даёт $xy+yx=0$, что, в свою очередь, означает $xy=yx$.

Всякое нетривиальное конечное булево кольцо является прямой суммой полей вычетов по модулю 2 (${\mathbb{Z}}_2$) и обладает единицей.

Факторкольцо $R/I$ любого булева кольца по произвольному идеалу $I$ также является булевым кольцом. Таким же образом, любое подкольцо некоторого булева кольца является булевым кольцом. Каждый простой идеал $P$ в булевом кольце $R$ является максимальным: факторкольцо $R/P$ является областью целостности, а также булевым кольцом, поэтому оно изоморфно полю ${𝔽}_2$, что показывает максимальность $P$. Так как максимальные идеалы всегда простые, понятия простого и максимального идеалов совпадают для булевых колец.

Булевы кольца являются абсолютно плоскими, то есть любой модуль над ними является плоским.

Каждый идеал с конечным числом образующих булева кольца является главным.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга