Вязкость суспензии

Относительная вязкость суспензии $\eta$  (отношение вязкости суспензии к вязкости дисперсионной среды)  зависит от многих факторов: температуры T, степени дисперсности, объемной доли $\phi$ дисперсной фазы, скорости сдвига (градиента скорости) $\dot{\gamma }$ и времени действия сдвигового напряжения (в случае наличия релаксационных эффектов – тиксотропии или реопексии).

Формула Кригера

Зависимость относительной вязкости суспензии $\eta$ от объемной доли дисперсной фазы $\phi$ при постоянной скорости сдвига описывается формулой Кригера:

$(1)\eta ={(1-\frac{\phi }{{\phi }_0})}^{-{\phi }_0[\eta ]}$

Где $[\eta ]$– характеристическая вязкость, ${\phi }_0$ – максимальное количество твердой фазы, которое можно ввести в суспензию; при этом вязкость суспензии стремится к бесконечности.

Эта формула выведена из следующих посылок

A)    При объемной доле твердой фазы, стремящейся к нулю, относительная вязкость суспензии стремится к единице, а ее производная по объемной доле дисперсной фазы – к характеристической вязкости:

$(2)\{\begin{array}{c}\eta (0)=1\\ \frac{d\eta (0)}{d\phi }=[\eta ]\end{array}$

B)  $\eta (\phi )$должна удовлетворять функциональному уравнению Кригера [1]:

$(3)\eta ({\phi }_1+{\phi }_2)=\eta ({\phi }_1)\eta \left(\frac{{\phi }_2}{1-{\phi }_1/{\phi }_0}\right)$

Где ${\phi }_1$ и ${\phi }_2$ – объемные доли одного и того же компонента, вводимые по частям.

Заменяя в уравнении (3)

${\phi }_1$

 на

$\phi$

, а

${\phi }_2$

 на дифференциал

$d\phi$

, получим дифференциальное уравнение, решение которого, с учетом начальных условий (2) и есть формула Кригера (1).

Рис.1. Типы кривых течения

Обобщение формулы Кригера на случай многокомпонентной суспензии имеет вид:

$(4)\eta ={(1-\sum _{i=1}^n\frac{{\phi }_i}{{\phi }_{0,i}})}^{-{\bar{\phi }}_0[\bar{\eta }]}$

где $[\bar{\eta }]$ – среднеобъемная характеристическая вязкость $[\bar{\eta }]=\frac{\sum [{\eta }_i]{\phi }_i}{\phi }$,

$\overline{{\phi }_0}$ – среднегармоническая предельная концентрация $\overline{{\phi }_0}=\frac{\phi }{\sum {\phi }_i/{\phi }_{0,i}}$,

$\phi$ – суммарная объемная доля твердой фазы $\phi =\sum {\phi }_i$.

Типы кривых течения

Кривые течения – графики зависимости сдвигового напряжения $\tau$ от скорости сдвига $\dot{\gamma }$.

Рис. 2 Зависимость напряжения сдвига от скорости сдвига для дисперсий окиси хрома по данным [4]. Различные кривые соо тветствуют различным концентрациям дисперсной фазы.

На рис. 1 схематично показаны 4 различные типа кривых течения:

(1)  – ньютоновская жидкость,

(2)  – бингамовский пластик,

(3)  – дилатантная суспензия,

(4)  – структурно-вязкая (псевдопластичная) суспензия,

${\tau }_0$ – предел текучести.

Обобщенную формулу Кригера (4) можно использовать для количественного описания всех типов кривых течения, если принять следующие предположения:[4]:

1. Однокомпонентную суспензию можно рассматривать как систему, состо­ящую из двух фракций: одиночных зерен суспензии и их димеров, причем одиночным зернам и их димерам соответ­ствуют различные значения параметров $[\eta ]$ и ${\phi }_0$;
2. Димеризацию одиночных зерен можно рассматривать как реакцию с константой скорости $k_1$, распад димеров – как реакцию с константой скорости, ли­нейно зависящей от скорости сдвига $\dot{\gamma }$: $k=k_2+k_3\dot{\gamma }$

Рис.3. N-образная кривая (псевдопластичное течение сменяется на дилатантное)

Любой скорости сдвига соответствуют свои равновесные кон­центрации одиночных зерен и димеров, исходя из которых, мож­но вычислить зависимость напряжения сдвига $\tau$ от скорости сдвига $\dot{\gamma }$.с помощью следующей формулы:

(5) $\tau ={\tau }_0+{\eta }_0\dot{\gamma }{(1-\frac{{\phi }_1}{{\phi }_{01}}-\frac{{\phi }_2}{{\phi }_{02}})}^{-\frac{[{\eta }_1]{\phi }_1+[{\eta }_2]{\phi }_2}{{\phi }_1/{\phi }_{01}+{\phi }_2/{\phi }_{02}}}$,

где ${\phi }_1=\sqrt{{\varkappa }^2+2\varkappa \phi }-\varkappa$, ${\phi }_2=\phi -{\phi }_1$, при этом $\varkappa ={\varkappa }_0+{\varkappa }_1\dot{\gamma }$ – параметр, связанный с константой равновесия между одиночными зернами и их димерами и линейно зависящий от скорости сдвига.

Формула (5) хорошо согласуется с экспериментальными данными (рис. 2).

Однако существуют суспензии, в которых характер течения меняется с ростом скорости сдвига: псевдопластичное поведение сменяется дилатантным ([5]) или наоборот. Для описания таких систем необходимо учитывать образование не только димеров зерен дисперсной фазы, но и их тримеров. В этом случае кривые течения при определенных значениях параметров приобретают точку перегиба, т.е. принимают S- или N-образную форму (рис. 3 и 4)

Рис. 4. S-образная кривая (дилатантное течение сменяется на псевдопластичное)

Литература

1. Krieger I.M. Flow Properties of Latex and Concentrated Solutions. В кн. "Surfaces and Coatings Related to Paaper and Wood". A Symposium, State University College of Forestry at Syracuse University, Syracuse University Press. 1967 P. 25-51.
2. Barnes H.A., Hutton J.F., Walters K. An Introduction to Rheology. Rheology series 3, Elsevier. 1988. P. 119-125.
3. Левинский А.И. Вязкость суспензий: формула Кригера–Догерти и эффект Фарриса" // Известия вузов. Химия и химическая технология, 2005. т. 48 №12. с. 22-25
4. Левинский А.И. Напряжения сдвига при течении структурированных суспензий // Журнал Физической Химии, 2021, т. 95 № 7 – с. 1131-1134.
5. Laun H.M. Rheological properties of aqueous polymer dispersions. // Angew. Macromol. Chem, 1984, 123, p. 335–359