Геометрический объект

Геометри́ческий объе́кт (Шаблон:Lang-en), или Шаблон:S — любая точка пространства представления данной фундаментальной группы $G$Шаблон:Sfn.

В качестве примера приведём два разных пространства представления проективной группы $P(3,ℝ)$Шаблон:Sfn:

• трёхмерное проективное пространство $P_3$;
• четырёхмерное многообразие $M_4$ прямых из $P_3$.

Теория геометрических объектов — раздел дифференциальной геометрии, основанный на теории представления групп. Применение метода внешних дифференциальных форм позволяет ввести дифференциальные критерии теории геометрического объекта, превращающие её в эффективный аппарат дифференциально-геометрического исследования пространств с фундаментальными группами, а также обобщённых пространств (расслоенных пространств, пространств со связностью, дифференцируемых многообразий, снабженных различными дифференциально-геометрическими структурами)Шаблон:Sfn.

Историческая справка

Для случая трёхмерного евклидова пространства понятие геометрического объекта, по существу, встречается уже у Феликса КлейнаШаблон:Sfn. При этом Клейн все геометрические объекты считает заданными как функции объединения нескольких геометрических объектов, компоненты которых — координаты фиксированных точекШаблон:Sfn.

Термин «геометрический объект», в противовес термину «инвариант», появился впервые в 1930 году у Схоутена и Ван КампенаШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Первая попытка систематического построения теории объектов и геометрических объектов была сделана Александром Вундгейлером (Alexander Wundheiler, 1902—1957) в докладеШаблон:SfnШаблон:Sfn, посвящённом классификации геометрий с помощью инвариантов группы движений пространства (предложенной в 1872 году Феликсом Клейном — так называемая Эрлангенская программа)Шаблон:Sfn, на Первой Международной конференции по тензорной дифференциальной геометрии и её приложениям в Москве в 1934 годуШаблон:Sfn.

Пространство геометрического объекта

Геометрический объект присоединён к своей фундаментальной группе $G$. Пространство представления фундаментальной группы, точкой которой является геометрический объект, называется пространством геометрического объекта в широком смысле слова, или обобщённым однородным пространством. Группа преобразований пространства геометрического объекта, реализующая его фундаментальную группу, называется фундаментальной группой геометрического объектаШаблон:Sfn.

Для данного пространства представления фундаментальной группы два его геометрических объекта эквивалентны, если один из них может быть преобразован в другой с помощью преобразования этой фундаментальной группы. Каждая система интранзитивности пространства представления, то есть множество всех эквивалентных между собою геометрических объектовШаблон:Sfn, называется пространством геометрического объекта в собственном смыслеШаблон:Sfn.

Представление называется транзитивным, если существует преобразование фундаментальной группы, преобразующее одну произвольно заданную точку в другую произвольно заданную точкуШаблон:Sfn. Пространство представления фундаментальной группы называется однородным, или пространством КлейнаШаблон:Sfn, если в нем реализовано истинное транзитивное представление этой группы. Во всяком пространстве истинного транзитивного представления конечной группы существует репер, состоящий из конечного числа точекШаблон:Sfn.

Пространство реперов

Пусть в пространстве данного геометрического объекта реализовано истинное транзитивное представление. Тогда, подвергая пространство представления и с ним данный репер всевозможным преобразованиям фундаментальной группы $G$, получают полное пространство реперов, в котором осуществляется просто транзитивное представление группы $G$. Это пространство отождествляется с параметрическим пространством фундаментальной группы $G$. Если принять его произвольную точку (репер) за исходную и сопоставить ей единичный элемент группы $G$, то все точки этого пространства приводятся во взаимно однозначное соответствие с элементами группы $G$. Групповые параметры могут рассматриваться как параметры подвижного репераШаблон:Sfn.

Между реперами пространства реперов и элементами фундаментальной группы можно установить также и взаимно однозначное соответствие, когда каждому элементу $S_a$ группы поставлен в соответствие некоторый репер $R_a$, полученный из произвольно зафиксированного начального (абсолютного) репера $R$ правым (левым) сдвигом при помощи элемента $S_a$: $R_a=R{S}_a$. Текущему элементу $S_u$ будет соответствовать текущий «подвижной» репер $R_u$. Каждая точка $X$ пространства представления фундаментальной группы определяется относительно репера $R$ своими координатами ${\tilde{X}}^K,K=1,2,\dots ,N,$ называется абсолютными координатами, или абсолютными компонентами, геометрического объекта $X$Шаблон:Sfn.

Основные функции, определяющие геометрический объект

Относительными координатами, или относительными компонентами, $X_u^K$ геометрического объекта по отношению к реперу $R_u=S_u^{-1}R$ называются абсолютные компоненты геометрического объекта, в который рассматриваемый объект $X$ превращается при помощи преобразования, переводящего подвижный репер $R_u$ в абсолютный репер $R$:

$X^K=S_u{\tilde{X}}^K$ и $X^K=f^K(u^s,{\tilde{X}}^J),$

$J,K=1,2,\dots ,N,s=1,2,\dots ,r,$

где $u^s$ — групповые параметры Шаблон:S группы. Относительные компоненты $X^K$ фиксированного геометрического объекта удовлетворяют вполне интегрируемой системе дифференциальных уравнений

$d{X}^K-{\xi }_s^K{\omega }^s=0$,

где ${\omega }^s={\omega }^s(u,du)$ — левоинвариантные формы фундаментальной группы и ${\xi }_s^K={\xi }_s^K(X^J)$. Эта система дифференциальных уравнений называется системой дифференциальных уравнений инвариантности геометрического объекта, а также системой дифференциальных уравнений представления фундаментальной группы с инвариантными формами ${\omega }^s$. Функции ${\xi }_s^K$ называются основными определяющими геометрический объект функциями (или определяющими представление функциями)Шаблон:Sfn.

Основная теорема

Сформулируем основную теорему теории представлений группы Ли, которая называется первой теоремой Ли — КартанаШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Теорема. Система вида

$d{X}^K-{\xi }_s^K{\omega }^s=0,K=1,2,\dots ,N,s=1,2,\dots ,r$

тогда и только тогда является системой дифференциальных уравнений инвариантности геометрического объекта с относительными компонентами $X^K$ и фундаментальной группой преобразований, когдаШаблон:Sfn:

• коэффициенты ${\xi }_s^K$ являются функциями только от переменных $X^K$;
• данная система вполне интегрируема.

Необходимыми и достаточными условиями полной интегрируемости системы дифференциальных уравнений инвариантности геометрического объекта является выполнение структурных уравнений Ли для определяющих объект функций ${\xi }_s^J(X^K)$:

$\frac{\partial {\xi }_p^J}{\partial X^K}{\xi }_q^K-\frac{\partial {\xi }_q^J}{\partial X^K}{\xi }_p^K=C_{pq}^s{\xi }_s^J,p,q,s=1,\dots ,r.$

Дифференциальные формы

$\mathrm{\Delta }{X}^J\equiv d{X}^J-{\xi }_s^J(X){\omega }^s$

называются структурными формами представления (или структурными формами геометрического объекта с относительными компонентами $X^J$)Шаблон:Sfn.

Арифметические инварианты геометрического объекта

Размерность $N$ пространства геометрического объекта называется рангом объекта. Необходимое условие истинного транзитивного представления некоторой Шаблон:S группы в пространстве объекта — это соотношение $N⩽r$Шаблон:Sfn.

Число $\rho =N-R$, где $N$ — размерность пространства представления геометрического объекта, $R$ — ранг матрицы $({\xi }_s^K)$, называется жанром геометрического объекта. Жанр совпадает с числом независимых абсолютных инвариантов геометрического объектаШаблон:Sfn.

Система форм

$X^J,{\mathrm{\Omega }}_{K_1}^J,{\mathrm{\Omega }}_{K_1{K}_2}^J,\dots ,{\mathrm{\Omega }}_{K_1{K}_2\dots K_a}^J,\dots ,$

где

${\mathrm{\Omega }}_{K_1{K}_2\dots K_a}^J=-\frac{{\partial }^a{\xi }_s^J}{\partial X^{K_1}\partial X^{K_2}\dots \partial X^{K_a}}{\omega }^s,$ $a=1,2,\dots ,$

вполне интегрируема. Для фиксированной точки $X_0$ пространства представления фундаментальной группы Ли

$\mathrm{\Delta }{X}_0^J\equiv -{\xi }_s^J(X_0){\omega }^s=0,$

а возникающие формы

${\overline{\mathrm{\Omega }}}_{K_1{K}_2\dots K_a}^J={\mathrm{\Omega }}_{K_1{K}_2\dots K_a}^J\mid X^J=X_0^J=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$

удовлетворяют структурным уравнениям линейной группыШаблон:Sfn.

Каждое число $r_m$ линейно независимых форм среди форм

${\overline{\mathrm{\Omega }}}_{K_1}^J,{\overline{\mathrm{\Omega }}}_{K_2}^J,\dots ,{\overline{\mathrm{\Omega }}}_{K_1{K}_2\dots K_m}^J$

является арифметическим инвариантом пространства представления фундаментальной группы. Каждое из чисел ${\rho }_m=r-r_m$ называется характером изотропии Шаблон:S порядка пространства представления фундаментальной группы, или характеристикой Шаблон:S порядка геометрического объектаШаблон:Sfn.

Числа ${\rho }_a$ образуют невозрастающую последовательность, причём всегда существует такое наименьшее число $q$, что

${\rho }_1⩾{\rho }_2⩾\dots ⩾{\rho }_{q-1}⩾{\rho }_q={\rho }_{q+1}=\dots .$

Число $q$ — также арифметический инвариант пространства представления фундаментальной группы, это порядок нелинейности, или тип, геометрического объектаШаблон:Sfn.

Охваты одних геометрических объектов другими

Если система дифференциальных уравнений инвариантности геометрического объекта

$d{X}^J-{\xi }_s^J(X^K){\omega }^s=0$

содержит подсистему

$d{X}^{\alpha }-{\xi }_s^{\alpha }(X^{\beta }){\omega }^s=0,\alpha ,\beta =1,2,\dots ,n_1<N,$

то система компонент $X^{\alpha }$ определяет новый геометрический объект — подобъект геометрического объекта с относительными компонентами $X^J$Шаблон:Sfn.

Если два геометрических объектов $X$ и $Y$ присоединены к одной и той же фундаментальной группе, причём все относительные компоненты $Y^{\alpha }$ одного объекта могут быть представлены как определенные аналитические функции от относительных компонент $X^J$ второго объекта:

$Y^{\alpha }=Y^{\alpha }(X^K),$

то говорят, что объект $Y$ охватывается объектом $X$, или содержится в объекте $X$Шаблон:Sfn. Геометрический объект $X$ называется охватывающим геометрическим объектом, а объект $Y$ — охваченным геометрическим объектом. Два геометрических объекта называются подобными, если каждый из них охватывает другой. Ранги, жанры, характеристики и типы подобных геометрических объектов совпадаютШаблон:Sfn.

Частный случай подобных геометрических объектов дают изомеры — геометрические объекты, компоненты которых отличаются только порядком следования. Если система дифференциальных уравнений инвариантности геометрических объектов алгебраически разрешима относительно всех инвариантных форм ${\omega }^s$ фундаментальной группы, то этим объектом можно охватить любой другой объект, присоединенный к этой фундаментальной группеШаблон:Sfn.

Усечённый геометрический объект

Вышеприведённая система функций охвата

$Y^{\alpha }=Y^{\alpha }(X^K)$

тогда и только тогда будет системой уравнений относительных компонент геометрического объекта, когда в системе дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют функции $Y^{\alpha }$, коэффициенты разложения по формам ${\omega }^s$ будут функциями только от этих компонент $Y^{\alpha }$. Формально это записывается следующим образомШаблон:Sfn:

$d{Y}^{\alpha }-{\eta }_s^{\alpha }(Y^{\beta }){\omega }^s=0,s=1,2,\dots ,r,$

$\alpha ,\beta =1,2,\dots ,n_1<N.$

Если в дифференциальных уравнениях

$d{X}^a-{\xi }_s^a(X^J){\omega }^s=0,a=1,2,\dots ,n_2<N,$

которым удовлетворяют компоненты $X^a$ геометрического объекта с относительными компонентами $X^J$, функции ${\xi }_s^a(X^J)$ однородны относительно компонент $X^a$, то система функций $X^J$ называется усечённым геометрическим объектомШаблон:Sfn.

Производный геометрический объект

Пусть имеется геометрический объект $X$ и охваченный им объект $Y$, на языке формул

$Y^{\alpha }=Y^{\alpha }(X^J).$

Тогда

$Y_K^{\alpha }\equiv \frac{\partial Y^{\alpha }}{\partial X^K}=F_K^{\alpha }(X^J).$

Совокупность относительных компонент охватывающего геометрического объекта $X^J$, охваченного геометрическим объектом $Y_K^{\alpha }$ и частных производных вторых по первым является системой относительных компонент нового охваченного геометрического объектаШаблон:Sfn:

$\{X^J,Y^{\alpha },\frac{\partial Y^{\alpha }}{\partial X^K}\}.$

При этом, если для $X^J$ выполняются уравнения

$d{X}^J-{\xi }_s^J(X^K){\omega }^s=0,$

а для $Y^{\alpha }$ выполняются уравнения

$d{Y}^{\alpha }-{\eta }_s^{\alpha }(Y^{\beta }){\omega }^s=0,$

то

$d{Y}_K^{\alpha }-(\frac{\partial {\eta }_s^{\alpha }}{\partial Y^{\beta }}{Y}_K^{\beta }-\frac{\partial {\xi }_s^J}{\partial X^K}{Y}_J^{\alpha }){\omega }^s=0.$

Этот новый охваченный геометрический объект называется производным геометрическим объектомШаблон:Sfn.

Тензор

Геометрический объект называется линейным, или квазитензорным, объектом, если группа преобразований его компонент линейнаШаблон:Sfn:

${\tilde{X}}^J=B_K^J(u)X^K+B^J(u).$

Если при этом $B^J=0$, то геометрический объект называется линейным однородным объектом, или тензоромШаблон:Sfn.

Геометрический объект — линейный (квазитензорный) объект тогда и только тогда, когда основные определяющие его функции имеют следующий вид:

${\xi }_s^J=K_{sK}^J{X}^K+K_s^J,$

где $K_{sK}^J$, $K_s^J$ — постоянные. Геометрический объект — линейный однородный объект (тензор) тогда и только тогда, когда $K_s^J=0$, и его функции имеют следующий видШаблон:Sfn:

${\xi }_s^J=K_{sK}^J{X}^K.$

Однокомпонентный тензор $X$ называется инвариантом. Дифференциальные уравнения инварианта имеют вид

$dX-X{K}_s{\omega }^s=0,$

где $K_s$ — постоянные. Если не все $K_s$ равны нулю, то инвариант называется относительным, а в случае $K_s=0$ инвариант называется абсолютнымШаблон:Sfn.

Расслоённая структура

Если $V_n$ — Шаблон:S дифференцируемое многообразие и $u^i$ — локальные координаты точки $u\in U\subset V_n$, где $U$ — некоторая область этого многообразия, то всегда можно ввести вполне интегрируемую систему $n$ линейных линейно независимых дифференциальных форм ${\theta }^i$, первые интегралы которой — локальные координаты $u^i$. Это означает, что выполняются следующие два равенстваШаблон:Sfn:

${\theta }^i=u_k^{i}d{u}_k,$

$D{\theta }^i={\theta }^k\wedge {\theta }_k^i.$

Рассмотрим систему $r$ линейных линейно независимых форм ${\omega }^{\alpha }$, удовлетворяющих следующим структурным уравнениям:

$D{\omega }^{\alpha }=\frac{1}{2}{C}_{\beta \gamma }^{\alpha }{\omega }^{\beta }\wedge {\omega }^{\gamma }+{\theta }^k\wedge {\omega }_k^{\alpha },$

$\alpha ,\beta ,\gamma =n+1,n+2,\dots ,n+r.$

Говорят, что формы ${\omega }^{\alpha }$ имеют расслоённую структуру по отношению к формам ${\theta }^i$, и при $u^i=u_0^i$, то есть при ${\theta }^k=0$, становятся инвариантными формами Шаблон:S группы Ли $G$ со структурными константами $C_{\beta \gamma }^{\alpha }(u_0^i)$Шаблон:Sfn:

$D{\omega }^{\alpha }=\frac{1}{2}{C}_{\beta \gamma }^{\alpha }{\omega }^{\beta }\wedge {\omega }^{\gamma }$.

Поле геометрического объекта

Говорят, что на Шаблон:S дифференцируемом многообразии $V_n$ задано (естественно, локально) поле геометрического объекта $\{X\}$, присоединенного к группе $G$, или поле Шаблон:S, если в каждой точке $u\in U$ этого многообразия определён геометрический объект $\{X\}$, присоединенный к некоторой группе Ли $G$, то есть в каждой точке определён Шаблон:S. При этом

${\tilde{\mathrm{\Phi }}}^J={\tilde{\mathrm{\Phi }}}^J(u_1,u_2,\dots ,u_n),$

где ${\tilde{\mathrm{\Phi }}}^J(J=1,2,\dots ,N)$ — абсолютные координаты объекта $\{X\}$. СледовательноШаблон:Sfn,

$d\tilde{\mathrm{\Phi }}={\tilde{\mathrm{\Phi }}}_k^J{\theta }^k.$

Другими словами, система функций $X^J$, удовлетворяющих системе дифференциальных уравнений

$\mathrm{\Delta }{X}^J\equiv d{X}^J-{\mathrm{\Xi }}_{\alpha }^J(X^K){\omega }^{\alpha }-X_k^J{\theta }^k=0,$

называется полем геометрического объекта, присоединенного к группе $G$, если система

$\mathrm{\Delta }{X}^J=0$, ${\theta }^k=0$

вполне интегрируема. При этом геометрический объект $\{X\}$ называется образующим объектом поля, а функции $X^J$ при ${\theta }^k=0$ становятся относительными компонентами геометрического объекта $\{X\}$. Сами эти уравнения называются дифференциальными уравнениями поля геометрического объекта $\{X\}$. Поле геометрического объекта определяет сечение в присоединенном расслоенном пространстве, база которого — дифференцируемое многообразие $V_n$, а слои — пространства данного геометрического объектаШаблон:Sfn.

Функции ${\mathrm{\Xi }}_s^J(X^K)$ называются основными определяющими функциями поля, а коэффициенты $X_k^J$ — дополнительными определяющими функциями поля геометрического объекта, или пфаффовыми производными поля. Совокупность функций $X^J$ и $X_k^J$, кроме того, образует систему относительных компонент геометрического объекта, который называется продолжением геометрического объекта $\{X\}$, или продолженным геометрическим объектом первого порядка геометрического объекта $\{X\}$Шаблон:Sfn.

Продолжения системы дифференциальных уравнений поля геометрического объекта

Система дифференциальных уравнений

$\mathrm{\Delta }{X}^J\equiv d{X}^J-{\mathrm{\Xi }}_{\alpha }^J(X^K){\omega }^{\alpha }-X_k^J{\theta }^k=0,$

поля геометрического объекта правильно продолжаема по формам ${\theta }^k$. Это означает, что в результате внешнего дифференцирования этой системы получается квадратичная система вида

$\mathrm{\Delta }{X}_i^J\wedge {\theta }^i=0,$

где

$\mathrm{\Delta }{X}_i^J\equiv d{X}_i^J-{\mathrm{\Xi }}_{i\alpha }^J(X^K,X_k^K){\omega }^{\alpha },$

Система уравнений

$\mathrm{\Delta }{X}_i^J=X_{ik}^J{\theta }^k,$

$\mathrm{\Delta }{X}^J\equiv d{X}^J-{\mathrm{\Xi }}_{\alpha }^J(X^K){\omega }^{\alpha }-X_k^J{\theta }^k=0$

образует систему дифференциальных уравнений поля продолженного геометрического объектаШаблон:Sfn.

В свою очередь, эта система

$\mathrm{\Delta }{X}^J\equiv d{X}^J-{\mathrm{\Xi }}_{\alpha }^J(X^K){\omega }^{\alpha }-X_k^J{\theta }^k=0,$

$\mathrm{\Delta }{X}_i^J=X_{ik}^J{\theta }^k$

правильно продолжаема. И так далее. В итоге после Шаблон:S продолжения получается система дифференциальных уравнений поля продолженного геометрического объекта порядка $q$ со следующими относительными компонентамиШаблон:Sfn:

$\{X^J,X_{k_1}^J,X_{k_1{k}_2}^J,\dots ,X_{k_1{k}_2\dots k_q}^J\}$.

Дифференциально-геометрический объект

Дифференциально-геометрическим объектом называется геометрический объект, когда он присоединён к дифференциальной группе $G{L}^p(n,ℝ)$ порядка $p$, а поле такого объекта — полем дифференциально-геометрического объектаШаблон:Sfn.

Если образующий объект поля охватывает другой объект (охватывается другим объектом), то поле первого называется охватывающим (охваченным), а поле второго — охваченным (охватывающим)Шаблон:Sfn.

Если на дифференцируемом многообразии задано поле геометрического объекта, то такое дифференцируемое многообразие называется оснащённым, а заданное поле и образующий его объект — оснащающим полем и, соответственно, оснащающим объектомШаблон:Sfn.

Поле оснащающего геометрического объекта индуцирует на дифференцируемом многообразии дифференциально-геометрическую структуру (Шаблон:S в широком смысле слова). Поэтому оснащающий объект называется также и структурным объектом. Тип структуры определяется типом структурного объектаШаблон:Sfn.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H