Гипотеза Морделла

Гипотеза Морделла — гипотеза о конечности множества рациональных точек на алгебраической кривой рода $g>1$, выдвинутая Луисом Морделлом в 1922 году. Позже гипотеза была обобщена с поля $\mathbb{Q}$ рациональных чисел на произвольное числовое поле. Была доказана Гердом Фальтингсом в 1983 году и теперь также называется теоремой Фальтингса.

Предпосылки

Пусть $C$ — неособая алгебраическая кривая над полем $\mathbb{Q}$. Множество рациональных точек кривой $C$ зависит от её рода $g$ следующим образом:

• Случай $g=0$: рациональных точек нет, либо их бесконечно много; $C$ является коническим сечением.
• Случай $g=1$: рациональных точек нет, либо $C$ является эллиптической кривой, а её рациональные точки образуют конечнопорождённую абелеву группу. Это следует из теоремы Морделла, позднее обобщённой до Шаблон:Не переведено. Кроме того, теорема Мазура о кручении ограничивает возможную структуру подгруппы кручения.
• Случай $g>1$: согласно выдвинутой Морделлом гипотезе, $C$ может иметь лишь конечное число рациональных точек.

Доказательство

В 1962 году Шафаревич высказал гипотезу о конечности, с точностью до изоморфизма, множества алгебраических кривых, имеющих заданный род $g>1$, поле определения $K$ и множество точек плохой редукции $S$. В 1968 году Паршин показал, как гипотезу Морделла можно свести к указанной гипотезе конечности Шафаревича.

В 1983 году Фальтингс доказал гипотезу конечности Шафаревича, используя известный способ сведения гипотезы к случаю Шаблон:Не переведено и инструменты алгебраической геометрии, включая теорию Шаблон:Не переведено.

Другое доказательство, основанное на диофантовых аппроксимациях, было дано Шаблон:Не переведено. Позднее оно было упрощено Фальтингсом и Энрико Бомбьери.

Следствия

Фальтингс в своей работе 1983 года доказал несколько утверждений, ранее считавшихся гипотезами:

• Гипотезу Морделла о том, что кривая рода больше чем 1 над числовым полем имеет лишь конечное число рациональных точек.
• Гипотезу Шафаревича о существовании лишь конечного, с точностью до изоморфизма, множества абелевых многообразий заданных размерности и степени поляризации над фиксированным числовым полем, имеющих хорошую редукцию всюду вне заданного конечного множества точек этого поля.
• Теорему об изогении абелевых многообразий, имеющих изоморфные модули Тейта.

Простейшее приложение теоремы Фальтингса — это слабая форма Великой теоремы Ферма: для любого выбранного $n\ge 4$ существует лишь конечное число взаимно простых решений уравнения $a^n+b^n=c^n$, поскольку для таких n кривая Ферма $x^n+y^n=1$ имеет род, больший 1.

Обобщения

В силу теоремы Морделла — Вейля, теорема Фальтингса может быть переформулирована как утверждение о пересечении кривой $C$ с конечнопорождённой подгруппой $\mathrm{\Gamma }$ абелева многообразия $A$. Заменяя $C$ на произвольное подмногообразие $A$ и $\mathrm{\Gamma }$ на произвольную подгруппу конечного ранга $A$, мы получаем обобщение, ведущее к гипотезе Морделла — Ленга, которая была доказана.

Другое обобщение теоремы Фальтингса — это Гипотеза Бомбьерри — Ленга, утверждающая, что если $X$ — псевдоканоническое многообразие (то есть многообразие общего типа) над конечным полем $k$, то множество $k$-рациональных точек $X(k)$ нигде не плотно в топологии Зарисского в $X$. Дальнейшие обобщения гипотезы были выдвинуты Паулем Войта.

Гипотеза Морделла для полей функций была доказана Маниным в 1963 году и Грауэртом в 1965 году. Шаблон:Не переведено в 1990 году нашёл и исправил пробел в доказательстве Манина.

Литература

• Mordell, L. J. On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees. Cambr. Phil. Soc. Proc. 21, 179—192 (1922).
• Faltings, G. Die Vermutungen von Tate und Mordell. Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 86 (1984), no. 1, 1—13.
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья Шаблон:Wayback
• Шаблон:Книга > Contains an English translation of Faltings (1983)
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга > Gives Vojta’s proof of Falting’s Theorem.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья. — «».
• Шаблон:Книга
• Шаблон:SpringerEOM