Граф призмы

Граф призмы — рёберный граф одной из призм.

Примеры

Индивидуальные графы можно назвать согласно ассоциированным телам:

• Граф треугольной призмы — 6 вершин, 9 рёбер
• Кубический граф — 8 вершин, 12 рёбер
• Граф пятиугольной призмы — 10 вершин, 15 рёбер
• Граф шестиугольной призмы — 12 вершин, 18 рёбер
• Граф Шаблон:Не переведено 5 — 14 вершин, 21 рёбер
• Граф восьмиугольной призмы — 16 вершин, 24 рёбер
• …

Y3 = GP(3,1)

Y4 = Q3 = GP(4,1)

Y5 = GP(5,1)

Y6 = GP(6,1)

Y7 = GP(7,1)

Y8 = GP(8,1)

Хотя геометрически звёздчатые многоугольники также служат гранями другой последовательности (самопересекающихся и невыпуклых) призматических многогранников, графы этих звёздчатых призм изоморфны графам призм и не образуют отдельной последовательности графов.

Построение

Графы призм являются примерами обобщённых графов Петерсена с параметрами GP(n,1). Графы также можно образовать как прямое произведение цикла и единичного ребра.

Как и многие вершинно-транзитивные графы, призматические графы можно построить как графы Кэли. Диэдральная группа порядка n является группой симметрий правильного n-угольника на плоскости. Она действует на n-угольник вращениями и отражениями. Группа может быть сгенерирована двумя элементами, вращением на угол $2\pi /n$ и одним отражением, и граф Кэли этой группы с этим генерирующим множеством является графом призмы. Абстрактно группа имеет задание $⟨r,f\mid r^n,f^2,(rf{)}^2⟩$ (где r — это вращение, а f — отражение) и граф Кэли имеет r и f (или r, r⁻¹ и f) в качестве генераторов

Граф n-угольной призмы с нечётным n можно построить как циркулянтный граф $C_{2n}^{2,n}$, однако это построение не работает для чётных значений n .

Свойства

Граф n-угольной призмы имеет 2n вершин и 3n рёбер. Графы являются регулярными кубическими графами. Поскольку призма имеет симметрии, переводящие любую вершину в любую другую, графы призм являются вершинно-транзитивными графами. Являясь полиэдральными графами, эти графы также являются вершинно 3-связными планарными графами. Любой граф призмы имеет гамильтонов циклШаблон:Sfn.

Среди всех двусвязных кубических графов графы призм имеют с точностью до постоянного множителя наибольшее возможное число 1-разложений графа. 1-разложение — это разбиение множества рёбер графа на три совершенных паросочетания, или, эквивалентно, рёберная раскраска графа тремя цветами. Любой двусвязный кубический граф с n вершинами имеет O(2^n/2) 1-разложений, а граф призмы имеет Ω(2^n/2) 1-разложений .

Число остовных деревьев графа n-угольной призмы задаётся формулой Шаблон:Sfn.

$\frac{n}{2}((2+\sqrt{3}{)}^n+(2-\sqrt{3}{)}^n)$

Для n = 3, 4, 5, ... эти числа равны

78, 388, 1810, 8106, 35294, ...

Графы n-угольных призм для чётных n являются частичными кубами. Они образуют одно из немногих известных бесконечных семейств кубических графов частичных кубов, и они являются (за исключением четырёх случаев) единственными вершинно-транзитивными кубическими частичными кубамиШаблон:Sfn.

Граф пятиугольной призмы является одним из запрещённых миноров для графов с древесной шириной триШаблон:Sfn. Графы треугольной призмы и куба имеют древесную ширину в точности три, но все бо́льшие призмы имеют древесную ширину четыре.

Связанные графы

Другие бесконечные семейства полиэдральных графов, основанные подобным же образом из многогранников с правильными основаниями, включают Шаблон:Не переведено 5 и колёса (графы пирамид). Другими вершинно-транзитивными полиэдральными графами являются архимедовы графы.

Если два цикла призматического графа разорвать удалением одного ребра в одном и том же месте в обоих циклах, получим лестницу. Если два удалённых ребра заменить двумя скрещивающимися рёбрами, получим непланарный граф «Лестница Мёбиуса»Шаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга