Десятиугольник

Правильный десятиугольник

Сторон и вершин	10
Символ Шлефли	{10}
Внутренний угол	144°
Симметрия	Диэдрическая ( $D_{10}$ ), порядок 20.

Десятиуго́льник (правильный десятиугольник — декагон) — многоугольник с десятью углами и десятью сторонами.

Правильный десятиугольник

У правильного десятиугольника все стороны равной длины, и каждый внутренний угол составляет 144°.

Площадь правильного десятиугольника равна (t — длина стороны):

$A = \frac{5}{2} t^{2} c t g \frac{π}{10} = \frac{5 t^{2}}{2} \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} \approx 7.694208842938134 t^{2} .$

Альтернативная формула $A = 2.5 d t$ , где d - расстояние между параллельными сторонами или диаметр вписанной окружности. В тригонометрических функциях он выражается так:

$d = 2 t (\cos \frac{3 π}{10} + \cos \frac{π}{10}),$

и может быть представлен в радикалах как

$d = t \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} .$

Сторона правильного десятиугольника, вписанного в единичную окружность, равна $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \frac{1}{φ}$ , где $φ$ - золотое сечение.

Радиус описанной окружности десятиугольника равен

$R = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} t,$

а радиус вписанной окружности

$r = \frac{\sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}{2} t .$

Построение

По теореме Гаусса — Ванцеля правильный десятиугольник возможно построить, используя лишь циркуль и линейку. На диаграмме показано одно из таких построений. Иначе его можно построить следующим образом:

Построить сначала правильный пятиугольник.
Соединить все его вершины с центром описанной окружности прямыми до пересечения с этой же окружностью на противоположной стороне. В этих точках пересечения и находятся остальные пять вершин десятиугольника.
Соединить по порядку вершины пятиугольника и пять точек, найденные шагом ранее. Искомый десятиугольник построен.

Разбиение правильного десятиугольника

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный $2 m$ -угольник (в общем случае - $2 m$ -угольный зоногон) можно разбить на $\frac{m (m - 1)}{2}$ ромбов. Для декагона $m = 5$ , так что он может быть разбит на 10 ромбов.

Разбиение правильного десятиугольника

Пространственный десятиугольник

Правильные пространственные десятиугольники
{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }
Пятиугольная антипризма	Пентаграммная антипризма	Пентаграммная антипризма с перекрёстом

Пространственный десятиугольник — пространственный многоугольник с десятью рёбрами и вершинами, но не лежащими в одной плоскости. У пространственного зиг-заг десятиугольника вершины чередуются между двумя параллельными плоскостями.

У правильного пространственного десятиугольника все рёбра равны. В трёхмерном пространстве это зиг-заг пространственный декагон, он может быть обнаружен среди рёбер и вершин пентагональной антипризмы, пентаграммной антипризмы, пентаграммной перекрещивающейся антипризмы с той же D_5d [2⁺,10] симметрией порядка 20.

Его также можно найти в некоторых выпуклых многогранниках с икосаэдрической симметрией. Многоугольники по периметру этих проекций (см. ниже) это пространственные десятиугольники.

Ортогональные проекции многогранников
Додекаэдр	Икосаэдр	Икосододекаэдр	Ромботриаконтаэдр

Многоугольники Петри

Правильный пространственный десятиугольник — это многоугольник Петри для многих многогранников высших размерностей, как показано на этих ортогональных проекциях на различных плоскостях Коксетера.