Дробное интегро-дифференцирование

Шаблон:Универсальная карточка Дробное интегро-дифференцирование в математическом анализе — объединённый оператор дифференцирования/интегрирования, порядок которого может быть произвольным вещественным или комплексным числом. Используется в дробном математическом анализе. Обычно оператор производной/интеграла дробного порядка обозначается следующим образом: ${𝔻}_t^q.$

Определения

Три наиболее употребительных формулы:

• Дифферинтеграл Римана — Лиувилля

Самая простая и часто употребляемая формулировка. Эта формула является обобщением до произвольного порядка формулы повторного интегрирования Коши.

${}_a{𝔻}_t^{q}f(t)$	$=\frac{d^{q}f(t)}{d(t{)}^q}=$
	$=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(q-n)}\frac{d^n}{d{t}^n}\underset{a}{\overset{t}{\int }}(t-\tau {)}^{n-q-1}f(\tau )d\tau ,$

где $n=\lceil q\rceil$.

• Дифферинтеграл Грюнвальда — Летникова

${}_a{𝔻}_t^{q}f(t)$	$=\frac{d^{q}f(t)}{d(t-a{)}^q}=$
	$=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left[\frac{t-a}{N}\right]}^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{q}{j})f(t-j\left[\frac{t-a}{N}\right]).$

• Интегро-дифференцирование Вейля

Формально похоже на интегро-дифференцирование Римана — Лиувилля, но распространяется на периодические функции с равным нулю интегралом по периоду.

Определения через преобразования

Обозначим непрерывное преобразование Фурье, как $ℱ$:

$F(\omega )=ℱ\{f(t)\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-i\omega t}dt.$

В Фурье-пространстве дифференцированию соответствует произведение:

$ℱ[𝔻f(t)]=ℱ\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=i\omega ℱ[f(t)].$

Поэтому,

$𝔻f(t)={ℱ}^{-1}\{(i\omega )ℱ[f(t)]\},$

что сводится к

${𝔻}^{q}f(t)={ℱ}^{-1}\{(i\omega {)}^qℱ[f(t)]\}.$

При преобразовании Лапласа, здесь обозначенном $ℒ$, дифференцирование заменяется умножением

$ℒ\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=sℒ[f(t)].$

Обобщая для произвольного порядка дифференцирования и решая уравнение относительно ${𝔻}^{q}f(t)$, получаем

${𝔻}^{q}f(t)={ℒ}^{-1}\{s^qℒ[f(t)]\}.$

Основные свойства

• Линейность:

${𝔻}_t^q(f(t)+g(t))={𝔻}_t^{q}f(t)+{𝔻}_t^{q}g(t);$

${𝔻}_t^q(af(t))=a{𝔻}_t^{q}f(t).$

• Правило нуля:

${𝔻}_t^{0}t=t.$

• Дробное интегро-дифференцирование произведения:

${𝔻}_t^q(f(t)g(t))=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{q}{j}){𝔻}_t^{j}f(t){𝔻}_t^{q-j}g(t).$

• Полугрупповое свойство:

${𝔻}_t^a{𝔻}_t^{b}f(t)={𝔻}_t^{a+b}f(t).$

в общем случае не выполняется.

Некоторые важные формулы

• ${𝔻}^q(t^n)=\frac{\mathrm{\Gamma }(n+1)}{\mathrm{\Gamma }(n+1-q)}{t}^{n-q};$
• ${𝔻}^q(\sin (t))=\sin (t+\frac{q\pi }{2});$
• ${𝔻}^q(e^{at})=a^q{e}^{at}.$

См. также

• Дифференциальный оператор
• Дробная производная
• Дробная динамика

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Fractional Calculus and Applied Analysis (1998—2014) и Fractional Calculus and Applied Analysis (from 2015)
• Progress in Fractional Differentiation and Applications
• Communications in Fractional Calculus (ISSN 2218-3892)