Евклидово кольцо

Евклидово кольцо — общеалгебраическое кольцо, в котором существует аналог алгоритма Евклида.

Определение

Евклидово кольцо — область целостности $R$, для которой определена евклидова функция (евклидова норма) $d:R\setminus \{0\}\to {\mathbb{N}}_0$, такая, что возможно деление с остатком по норме меньшим делителя, то есть для любых $a,b\in R,b\ne 0$ имеется представление $a=bq+r$, для которого $d(r)<d(b)$ или $r=0$Шаблон:Sfn.

Дополнительное ограничение

Часто на евклидову норму накладывают дополнительное ограничение: $d(a)⩽d(ab)$ для любых ненулевых $a$ и $b$ из кольца $R$. Если на $R$ задана норма, не удовлетворяющая этому условию, её можно поправить, переопределив:

$d^{\prime }(a)=\underset{x\in R\setminus \{0\}}{\min }d(ax)$.

Такая норма нужному неравенству удовлетворяет, однако прежний алгоритм деления с остатком требует поправки (для $x\in R$ и $d^{\prime }(b)=d(bx)$ делится $ax$ на $bx$ с остатком: $ax=bx{q}^{\prime }+r^{\prime }x$, где $r^{\prime }=a-b{q}^{\prime }$ и $d(r^{\prime }x)<d(bx)=d^{\prime }(b)$, а так как из определения следует $d^{\prime }(r^{\prime })⩽d(r^{\prime }x)$, получается искомое представление $a=b{q}^{\prime }+r^{\prime }$ с $d^{\prime }(r^{\prime })<d^{\prime }(b)$).

Преимуществ у такой нормы не так много — все обратимые элементы имеют одно и то же значение нормы, причём минимальное из всех (конечных), собственные делители элемента $a$ имеют меньшее значение нормы, а также упрощается непосредственное доказательство факториальности евклидовых колец (без ссылки на факториальность колец главных идеалов, доказательство чего требует применения трансфинитной индукции). Основные же свойства евклидовых колец остаются в силе и без этого дополнительного свойства.

Примеры

• Кольцо целых чисел $\mathbb{Z}$. Пример евклидовой функции — абсолютная величина $|\cdot |$.
• Кольцо целых гауссовых чисел $\mathbb{Z}[i]$ (где $i$ — мнимая единица, $i^2=-1$) с нормой $d(a+ib)=a^2+b^2$ — евклидово.
• Произвольное поле $K$ является евклидовым кольцом с нормой, равной 1 для всех элементов, кроме 0.
• Кольцо многочленов в одной переменной $K[x]$ над полем $K$. Пример евклидовой функции — степень deg.
• Кольцо формальных степенных рядов $K[[x]]$ над полем $K$ является евклидовым кольцом. Норма степенного ряда — номер первого ненулевого коэффициента в нём.
  • Более общо, всякое локальное кольцо является евклидовым, если в нём максимальный идеал является главным и пересечение всех его степеней состоит только из нуля. Норма обратимого элемента равна 0, необратимого ненулевого — максимальной степени максимального идеала, которая содержит данный элемент.
• Кольцо функций $H(K)$, голоморфных на связном компакте $K$ в $ℂ$ (каждая из них должна быть голоморфна в какой-нибудь окрестности этого компакта; две такие функции считаются равными в $H(K)$, если они совпадают в некоторой окрестности $K$), тоже евклидово. За норму ненулевой функции принимается число нулей (с учётом кратности), которые она принимает на $K$.
• Счётное пересечение евклидовых колец (подколец в каком-нибудь кольце) не обязано быть евклидовым кольцом (и даже нётеровым или факториальным). Например, кольцо функций $H(𝔻)$, голоморфных в открытом круге $𝔻$, является пересечением евклидовых колец функций $H(K)$, голоморфных на замкнутых кругах $K$, содержащихся внутри $𝔻$, однако оно ни нётерово, ни факториально, соответственно, и неевклидово.
• Кольцо частных $S^{-1}R$ евклидова кольца $R$ по мультипликативной системе $S$ тоже является евклидовым. Нормой дроби $x$ из $S^{-1}R$ принимается:

$d_S(x)=\min \{d_R(u):(u,s)\in R\times S,x=u/s\},$

где $d_R$ — евклидова норма в $R$, а $d_S$ — норма в $S^{-1}R$.

Деление с остатком определяется следующим образом: пусть есть две ненулевые дроби $x=r/t$ и $y$ из S⁻¹R. По определению нормы в $S^{-1}R$ существует элементы $u$ в $R$ и $s$ в $S$, такие, что $y=u/s$ и $d_S(y)=d_R(u)$. Произведя деление с остатком в кольце $R$ элементов $rs$ и $u$ — $rs=uq+r$, так что $d_R(r^{\prime })<d_R(u)$, получается $r/t=(u/s)(q/t)+r^{\prime }/ts$; из построения следуют неравенства $d_S(r^{\prime }/ts)⩽d_R(r^{\prime })<d_R(u)=d_S(y)$.

• Евклидовым является кольцо конечных десятичных дробей, так как оно является кольцом частных кольца целых чисел $\mathbb{Z}$.
• Евклидовыми являются кольца рациональных функций над полем $ℂ$ с фиксированными полюсами, так как такие кольца являются кольцами частных кольца многочленов $ℂ[x]$.

Алгоритм Евклида

В евклидовом кольце осуществим алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (элементов). Пусть изначально даны два элемента $a_0$ и $a_1$, причём $d(a_1)⩽d(a_0)$ и $a_1\ne 0$. Деление с остатком даёт элемент $a_2=a_0-a_1{q}_1$ с $d(a_2)<d(a_1)$. Если он не равен нулю, можно опять применить деление с остатком, и получить элемент $a_3=a_1-a_2{q}_2$, и так далее. Таким образом генерируется цепочка значений $a_0,a_1,a_2,\dots$ с $d(a_0)>d(a_1)>d(a_2)>\dots$. Однако эта цепочка прерывается, поскольку всякое натуральное число может строго превосходить лишь конечное количество других натуральных чисел. Это означает, что при некотором $n$ остаток $a_{n+1}$ равен нулю, а $a_n$ не равен, он и есть наибольший общий делитель элементов $a_0$ и $a_1$. Следовательно, в евклидовом кольце гарантировано завершение алгоритма Евклида. Строго говоря, именно в евклидовых кольцах и возможна реализация алгоритма Евклида.

Свойства евклидовых колец

• В евклидовом кольце каждый идеал — главный (в частности, все евклидовы кольца нётеровы).
  • Пусть $I$ — произвольный идеал в евклидовом кольце. Если он содержит лишь $0$, — он главный. В противном случае среди его ненулевых элементов найдётся элемент $f$ с минимальной нормой (принцип минимума для натуральных чисел). Он делит все остальные элементы идеала: представив произвольный элемент $g\in I$ в виде $g=fq+r$ с $d(r)<d(f)$ получается, что $r$ — тоже элемент идеала $I$ и он обязан быть нулём, так как его норма меньше, чем у $f$. Следовательно, идеал $I$ содержится в идеале $(f)$. С другой стороны, всякий идеал, содержащий элемент $f$, содержит идеал $(f)$, откуда следует, что $I=(f)$ — главный идеал.
• Каждое евклидово кольцо факториально, то есть каждый элемент представим конечным произведением простых элементов, и притом однозначно (с точностью до их перестановки и умножения на обратимые элементы). Факториальность — общее свойство всех колец главных идеалов.
• Каждое евклидово кольцо $R$ целозамкнуто, то есть если дробь $a/b,a,b\in R$, является корнем многочлена $f\in R[x]$ со старшим коэффициентом, равным 1, тогда $a$ делится на $b$. Целозамкнутость — общее свойство всех факториальных колец.

Свойства модулей над евклидовым кольцом

Пусть $R$ — евклидово кольцо. Тогда конечнопорождённые $R$-модули обладают следующими свойствами:

• Всякий подмодуль $N$ конечнопорождённого $R$-модуля $M$ конечно порождён (следствие нётеровости кольца $R$).
• Ранг подмодуля $N$ не превосходит ранга модуля $M$ (следствие главности идеалов в $R$ — структурная теорема для конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов).
• Подмодуль свободного $R$-модуля также свободен.
• Гомоморфизм $A:N\to M$ конечнопорождённых $R$-модулей всегда приводится к нормальной форме. То есть существуют образующие (базис, если модуль свободен) $u_1,u_2,\dots ,u_n$ модуля N, образующие (базис) $v_1,v_2,\dots ,v_m$ модуля M, номер $k⩽\min \{m,n\}$ и $a_1,\dots ,a_k$ — элементы кольца $R$, такие, что $a_i$ делит $a_{i+1}$ и при i > k $A{u}_i=0$, а при остальных — $A{u}_i=a_i{v}_i$. При этом коэффициенты $a_1,\dots ,a_k$ определены однозначно с точностью до умножения на обратимые элементы кольца $R$. (В этом свойстве прямо задействована евклидовость кольца $R$.)

См. также

• Евклидово поле
• Область целостности

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга