Ехиднаэдр

Группа симметрии

Икосаэдрическая (I_h)

Тип

Звёздчатая форма икосаэдра

Обозначения

Дю Валь: H
Веннинджер: W₄₂

Элементы
(в форме звёздчатого многогранника)

Г = 20, Р = 90
В = 60 (χ = −10)

Элементы
(в форме созвездия икосаэдра)

Г = 180, Р = 270
В = 92 (χ = 2)

Свойства
(как звёздчатого многогранника)

Вершино-транзитивный, гране-транзитивный

Эннеаграмма ехиднаэдра	Ядро звёздчатого многогранника	Выпуклая оболочка
	Икосаэдр	Усечённый икосаэдр

Ехидна́эдр (Шаблон:Lang-en) — последняя звёздчатая форма икосаэдра Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn, также называют полной или завершающей формой икосаэдра, так как она включает в себя все ячейки Шаблон:Нп5 икосаэдра.

Впервые ехиднаэдр был описан Максом Брюкнером в 1900 году. Название ехиднаэдру дал Эндрю Хьюм, опираясь на то, что его телесные углы при вершинах малы и это делает его похожим на колючего ежа или ехидну Шаблон:Sfn.

Представление

На основании анализа научной литературы Бранко Грюнбаум в статье «Может ли каждая плоскость многогранника иметь много сторон?» («Can Every Face of a Polyhedron Have Many Sides?») отмечает, что существует по крайней мере три различных метода рассмотрения многогранников. В случае ехиднаэдра это:

объединение 180 треугольных граней;
пересечение 20 самопересекающихся граней — эннеаграмм;
пересечение 18-угольных звёздчатых многоугольниковШаблон:Sfn.

В форме созвездия икосаэдра

Как простая, видимая поверхность многогранника, внешняя форма ехиднаэдра состоит из 180 треугольных граней, которые образуют 270 рёбер, которые, в свою очередь, встречаются в 92 вершинахШаблон:Sfn.

Все вершины ехиднаэдра лежат на поверхности трёх концентрических сфер. Внутренняя группа из 20 вершин образует вершины правильного додекаэдра; следующий слой из 12 вершин образует вершины правильного икосаэдра; и наружный слой из 60 вершин образует вершины усечённого икосаэдра Шаблон:Sfn.

Выпуклые оболочки каждой сферы вершин
Внутренняя	Средняя	Внешняя	Все три
20 вершин	12 вершин	60 вершин	92 вершины
Додекаэдр	Икосаэдр	Усечённый икосаэдр	Ехиднаэдр

В форме звёздчатого многогранника

Завершающая звёздчатая форма икосаэдра также может быть рассмотрена как самопересекающийся звёздчатый многогранник, имеющий 20 граней, соответствующих 20 граням икосаэдра. Каждая грань является неправильным звёздчатым многоугольником (или эннеаграммой)Шаблон:Sfn. Каждые три грани образуют одну вершину, поэтому ехиднаэдр имеет 20 × 9 ÷ 3 = 60 вершин (этот внешний слой вершин и образует кончики «колючки») и 20 × 9 ÷ 2 = 90 рёбер (каждое ребро звёздчатого многогранника включает 2 из 180 видимых рёбер многогранника).

Как завершающая форма икосаэдра

Эта звёздчатая форма многогранника образуется путём присоединения к икосаэдру всех отсеков, получаемых при продлении граней икосаэдра бесконечными плоскостямиШаблон:Sfn. Таким образом, создается новый многогранник, ограниченный этими плоскостями как гранями, а пересечениями этих плоскостей являются рёбра. В книге «Пятьдесят девять икосаэдров» перечислены созвездия икосаэдра (включая ехиднаэдр) в соответствии с набором правил, выдвинутым Джеффри Миллером Шаблон:Sfn.

Свойства

Наименования и классификация

Символ Дю Валя^[1] ехиднаэдра — это H, поскольку он включает все ячейки в схеме созвездия, в том числе наиболее удалённый уровень - уровень «h»Шаблон:Sfn.
В книге Магнуса Веннинджера Модели многогранников ехиднаэдр имеет индекс W₄₂Шаблон:Sfn.
Если бы грани ехиднаэдра являлись правильными эннаграммами, его можно было бы рассматривать как правильный многогранник с символом Шлефли {9/4,3}. Это означает, что в каждой вершине сходятся 3 грани, где каждая грань представляет собой неправильный 9/4 звёздчатый многоугольник Шаблон:Sfn.

Характеристики

Эйлерова характеристика ехиднаэдра равна 2Шаблон:Sfn. Данная характеристика считается по формуле $χ = Γ - P + B,$ где Г, Р и В — числа граней, рёбер и вершин соответственно.
Если рассматривать ехиднаэдр как звёздчатый многогранник, то завершающая форма икосаэдра является Шаблон:Нп5, так как он является равногранным (гране-транзитивным) и изогональным (вершинно-транзитивным).

Формулы

Если рассматривать ехиднаэдр как геометрическое тело с длинами рёбер a, Φa, Φ²a и Φ²a√2 (где Φ — золотое сечение), то площадь поверхности ехиднаэдра составляетШаблон:Sfn

S = \frac{1}{20} (13211 + \sqrt{174306161}) a^{2},

а объёмШаблон:Sfn

V = (210 + 90 \sqrt{5}) a^{3} .

Радиусы сфер, на которых расположены вершины ехиднаэдра, находятся в соотношенииШаблон:Sfn

\sqrt{\frac{3}{2} (3 + \sqrt{5})} : \sqrt{\frac{1}{2} (25 + 11 \sqrt{5})} : \sqrt{\frac{1}{2} (97 + 43 \sqrt{5})} .

Тензор инерции ехиднаэдра постоянной плотности может быть представлен как диагональная матрица 3×3, элементы главной диагонали которой равны $\frac{1}{45} (299 + 131 \sqrt{5}) M a^{2}$ (где M — общая масса)Шаблон:Sfn.

Исторический очерк

Ехиднаэдр принадлежит к звёздчатым многогранникам, которые впервые в научной литературе были описаны в 1619 году в трактате Harmonices Mundi Иоганом Кеплером. Кеплер дал математическое обоснование свойств двух типов правильных звёздчатых многогранников: малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр Шаблон:Sfn. Гораздо позже — в 1809 году — Луи Пуансо заново открыл многогранники Кеплера, а также открыл ещё два звёздчатых многогранника: большой додекаэдр и большой икосаэдр, которые теперь называют телами Кеплера — Пуансо Шаблон:Sfn. А в 1812 году Огюстен Коши доказал, что существует только 4 вида правильных звёздчатых многогранниковШаблон:Sfn Шаблон:Sfn.

Впервые ехиднаэдр был описан в 1900 году Максом Брюкнером в классической работе о многогранниках, озаглавленной «Многоугольники и многогранники», где помимо него были описаны ещё 9 звёздчатых форм икосаэдраШаблон:Sfn. С тех пор ехиднаэдр стал появляться в работах других математиков, причём он не имел единого обозначения. В 1924 году Альберт Виллер опубликовал список 20 звёздчатых форм (22, включая копии), и в том числе ехиднаэдрШаблон:Sfn. Наиболее систематическое и полное исследование звёздчатых многогранников провели Гарольд Коксетер совместно с Патриком дю Валем, Флейзером и Джоном Петри в 1938 году в книге Пятьдесят девять икосаэдров, где они применили правила ограничения, установленные Дж. Миллером. Коксетер доказал, что существует всего 59 звёздчатых форм икосаэдра, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией. Ехиднаэдр занимает восьмое место в книгеШаблон:Sfn. В труде Магнуса Веннинджера, изданной в 1974 году Модели многогранников, ехиднаэдр включён как 17-я модель икосаэдра с индексом W₄₂Шаблон:Sfn.

Современное название последней звёздчатой формы икосаэдра дал Эндрю Хьюм в 1995 году в своей базе данных Шаблон:Нп5 как echidnahedronШаблон:Sfn (ехидна, или колючий муравьед, небольшое млекопитающее, покрытое жёсткими волосами и шипами, сворачивается в клубок, чтобы защититься).

Шаблон:Начало цитатыБаза данных Netlib охватывает все Шаблон:Iw, архимедовы тела, ряд призм и антипризм, все многогранники Джонсона (выпуклые многогранники, у которых каждая грань — правильный многоугольник) и некоторые странные многогранники, включая ехиднаэдр (моё название, на самом деле это завершающая форма икосаэдра). Шаблон:Oq Шаблон:Конец цитаты

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Шаблон:Навигация

Шаблон:Звёздчатые формы икосаэдра

Шаблон:Хорошая статья

↑ Дю Валь изобрёл символическое обозначение для идентификации наборов конгруэнтных ячеек, основанное на наблюдении, что они расположены в «оболочках» вокруг исходного икосаэдра.

[1] Дю Валь изобрёл символическое обозначение для идентификации наборов конгруэнтных ячеек, основанное на наблюдении, что они расположены в «оболочках» вокруг исходного икосаэдра.

[1]