Инцидентность (геометрия)

Отношение инцидентности — это бинарное отношение между двумя различными типами объектов. Это включает понятия, которые можно выразить такими фразами как «точка лежит на прямой» или «прямая принадлежит плоскости». Наиболее существенное отношение инцидентности — между точкой Шаблон:Math и прямой Шаблон:Math, которое записывается как Шаблон:Math. Если Шаблон:Math, пара Шаблон:Math называется флагом. В разговорном языке существует много выражений, описывающих отношение инцидентности (например, прямая проходит через точку, точка лежит на плоскости, и т. д.), однако термин «инцидентна» предпочтительнее, поскольку не предполагает дополнительных cопутствующих понятий и может быть использован симметрично, отражая свойство симметричности отношения. Утверждения, такие как «прямая Шаблон:Math пересекает прямую Шаблон:Math», также являются утверждениями об отношении инцидентности, но в этом случае проще сказать: «существует точка Шаблон:Math, инцидентная обоим прямым Шаблон:Math и Шаблон:Math». Когда один тип объектов можно рассматривать как множество объектов другого типа (а именно, плоскость является множеством точек), отношение инцидентности можно рассматривать как включение.

Утверждения вида «любые две прямые на плоскости пересекаются» называются утверждениями инцидентности. Такие утверждения верны в проективных плоскостях, но не верны на евклидовых, где прямые могут быть параллельны. Исторически, проективная геометрия была предложена для того, чтобы утверждение инцидентности было верно без исключений. С точки зрения синтетической геометрии проективную геометрию следует создавать, используя такие утверждения в качестве аксиом. Наиболее существенен такой подход для проективных плоскостей ввиду верности теоремы Дезарга для более высоких размерностей.

Аналитический подход, напротив, определяет проективное пространство на основе линейной алгебры с использованием однородной системы координат. Отношение инцидентности выводится из следующего базового результата для векторных пространств: если даны подпространства Шаблон:Math и Шаблон:Math векторного пространства Шаблон:Math (конечной размерности), размерность их пересечения равна Шаблон:Math. Если принять во внимание, что геометрическая размерность проективного пространства Шаблон:Math, ассоциированного с Шаблон:Math, равна Шаблон:Math, и что геометрическая размерность любого подпространства положительна, базовое утверждение инцидентности в этих условиях примет вид: линейные подпространства Шаблон:Math и Шаблон:Math проективного пространства Шаблон:Math пересекаются при условии, что Шаблон:Math

Последующие разделы относятся к проективным плоскостям, определённым над полями. Такие плоскости часто обозначаются как Шаблон:Math или Шаблон:Math, где Шаблон:Math — поле. Однако эти рассуждения можно естественным образом распространить на пространства более высоких размерностей, а поле может быть заменено на тело с учётом, что в этом случае умножение не будет коммутативным.

Шаблон:Math

Пусть Шаблон:Math — трёхмерное векторное пространство, определённое над полем Шаблон:Math. Проективная плоскость Шаблон:Math состоит из одномерных векторных подпространств пространства Шаблон:Math, которые называются точками, и двумерных векторных подпространств Шаблон:Math, которые называются прямыми. В определении предполагается, что все рассматриваемые подпространства содержат одну выделенную точку. Инцидентность точки и прямой определяется принадлежностью одномерного подпространства двумерному.

Если зафиксировать базис Шаблон:Math, то мы можем описать вектора как координатные тройки (по отношению к базису). Одномерное векторное подпространство состоит из ненулевого вектора и всех векторов, полученных из него умножением на (ненулевой) скаляр. Все такие вектора, записанные в виде координатных троек, соответствуют координатам данной точки в однородной системе координат. По отношению к зафиксированному базису пространство решений линейного уравнения Шаблон:Math} является двумерным подпространством пространства Шаблон:Math, а потому является прямой в Шаблон:Math. Эту прямую можно обозначить координатами прямой Шаблон:Math, которые также являются однородными координатами, поскольку умножение на ненулевой скаляр даёт ту же самую прямую. Другие обозначения также широко используются. Координаты точки можно записать как вектор-столбцы Шаблон:Math^T, с двоеточиями Шаблон:Math или с индексом Шаблон:Math. Соответственно, координаты прямой могут быть записаны как вектор-строки Шаблон:Math, с двоеточиями Шаблон:Math или с индексом Шаблон:Math. Возможны и другие варианты обозначений.

Алгебраическое выражение инцидентности

Если дана точка Шаблон:Math и прямая Шаблон:Math, записанные в терминах координат точки и прямой, точка инцидентна прямой (часто записывается как Шаблон:Math), тогда и только тогда, когда

Шаблон:Math.

В других обозначения это можно выразить как:

$ax+by+cz=[a,b,c]\cdot (x,y,z)=(a,b,c{)}_L\cdot (x,y,z{)}_P=$

$=[a:b:c]\cdot (x:y:z)=(a,b,c)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=0.$

Вне зависимости от обозначений, когда однородные координаты точки и прямой рассматриваются как две упорядоченные тройки, инцидентность прямой и точки выражается как равенство их скалярного произведения нулю.

Инцидентность прямой паре различных точек

Пусть дана пара различных точек Шаблон:Math и Шаблон:Math с однородными координатами Шаблон:Math и Шаблон:Math соответственно. Эти точки определяют единственную прямую Шаблон:Math с уравнением вида $ax+by+cz=0$, которая должна удовлетворять уравнениям:

$a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1=0$

$a{x}_2+b{y}_2+c{z}_2=0$.

В матричном виде эту систему можно переписать как

$\left(\begin{array}{ccc}x& y& z\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right).$

Эта система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель равен нулю

$\left|\begin{array}{ccc}x& y& z\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|=0.$

Раскрытие этого уравнения для определителя даёт однородные линейные уравнения, которые должны быть уравнением прямой Шаблон:Math. Таким образом, с точностью до ненулевого постоянного множителя имеем $l=[a,b,c]$, где

$a=y_1{z}_2-y_2{z}_1$

$b=x_2{z}_1-x_1{z}_2$

$c=x_1{y}_2-x_2{y}_1$.

В терминах смешанного произведения векторов уравнение для прямой можно переписать как

$P\cdot P_1\times P_2=0$,

где $P=(x,y,z)$ — точка.

Коллинеарность

Точки, инцидентные одной прямой, называются коллинеарными. Множество всех точек, инцидентных одной прямой, называется проективным отрезком.

Если Шаблон:Math и Шаблон:Math, то эти точки коллинеарны тогда и только тогда, когда

$\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}\right|=0,$

то есть тогда и только тогда, когда определитель однородных координат равен нулю.

Пересечение пар прямых

Пусть дана пара различных прямых $l_1=[a_1,b_1,c_1]$ и $l_2=[a_2,b_2,c_2]$. Тогда пересечением прямых $l_1$ и $l_2$ будет точка $P=(x_0,y_0,z_0)$, которая является одновременным решением (с точностью до постоянного множителя) системы линейных уравнений

$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=0$ и

$a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=0$.

Решение этих уравнений даёт

$x_0=b_1{c}_2-b_2{c}_1$,

$y_0=a_2{c}_1-a_1{c}_2$ и

$z_0=a_1{b}_2-a_2{b}_1$.

Альтернативно, рассмотрим другую прямую $l=[a,b,c]$, проходящую через точку Шаблон:Math, то есть однородные координаты точки Шаблон:Math удовлетворяют уравнению

$ax+by+cz=0$.

Комбинируя это уравнение с уравнениями, определяющими точку Шаблон:Math, мы можем видеть нетривиальное решение матричного уравнения

$\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ a_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right).$

Такое решение возможно, лишь когда

$\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ a_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\end{array}\right|=0.$

Коэффициенты Шаблон:Math и Шаблон:Math в уравнении дают однородные координаты точки Шаблон:Math.

Уравнение общего вида для прямой, проходящей через точку Шаблон:Math, в обозначениях смешанного произведения выглядит как

$l\cdot l_1\times l_2=0$.

Пересечение

Множество всех прямых на плоскости, инцидентных одной и той же точке, называется пучком прямых, центрированным в этой точке. Вычисление пересечения двух прямых показывает, что весь пучок определяется двумя прямыми, пересекающимися в данной точке. Отсюда немедленно следует, что алгебраическим условием пересечения трёх прямых $[a_1,b_1,c_1],[a_2,b_2,c_2],[a_3,b_3,c_3]$ в одной точке является равенство нулю определителя

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right|=0.$

См. также

• Теорема Менелая
• Теорема Чевы
• Конциклические точки
• Матрица инцидентности
• Шаблон:Не переведено 5
• Структура инцидентности
• Геометрия инцидентности
• Граф Леви
• Аксиоматика Гильберта

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга