Ковариант Фробениуса

Коварианты Фробениуса квадратной матрицы $A$ — специальные многочлены, а именно проекторы $A_i$, связанные с собственными значениями и векторами матрицы $A$Шаблон:Sfn. Коварианты названы именем немецкого математика Фердинанда Георга Фробениуса.

Каждый ковариант является проектором на собственное пространство, связанное с собственным значением ${\lambda }_i$. Коварианты Фробениуса являются коэффициентами формулы Сильвестра, которая выражает матричную функцию $f(A)$ как матричный многочлен.

Формальное определение

Пусть Шаблон:Mvar будет диагонализируемой матрицей с собственными значениями ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$.

Ковариант Фробениуса $A_i$ для $i=1,\dots ,k$ — это матрица

$A_i\equiv \prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{j=1}{j\ne i}}^k\frac{1}{{\lambda }_i-{\lambda }_j}(A-{\lambda }_{j}E).$

По существу, это многочлен Лагранжа с матрицей в качестве аргумента. Если собственное значение ${\lambda }_i$ простое, то, как матрица проецирования, не меняющая одномерного пространства, $A_i$ имеет единичный след.

Вычисление ковариантов

Фердинанд Георг Фробениус (1849—1917), немецкий математик, известный своим вкладом в теорию эллиптических функций, теорию дифференциальных уравнений и, позднее, в теорию групп.

Коварианты Фробениуса матрицы $A$ могут быть получены из любого спектрального разложения матрицы $A=SD{S}^{-1}$, где $S$ не вырождена, а $D$ — диагональная матрица с $D_{ii}={\lambda }_i$. Если $A$ не имеет кратных собственных значений, то пусть $c_i$ будет $i$-м правым собственным вектором матрицы $A$, то есть $i$-м столбцом матрицы $S$. Пусть $r_i$ будет $i$-м левым собственным вектором $A$ ($i$-й строкой матрицы $S^{-1}$). Тогда $A_i=c_i{r}_i$.

Если $A$ имеет кратное собственное значение ${\lambda }_i$, то $A_i=\sum _j{c}_j{r}_j$, где суммирование ведётся по всем строкам и столбцам, связанным с собственным значением ${\lambda }_i$Шаблон:Sfn.

Пример

Рассмотрим матрицу $2\times 2$

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 2\end{array}\right].$

Матрица имеет два собственных значения: $5$ и $-2$. Следовательно, $(A-5)(A+2)=0$.

Соответствующее собственное разложение есть

$A=\left[\begin{array}{cc}3& 1/7\\ 4& -1/7\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& -2\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}3& 1/7\\ 4& -1/7\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}3& 1/7\\ 4& -1/7\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1/7& 1/7\\ 4& -3\end{array}\right].$

Следовательно, коварианты Фробениуса, явственно являющиеся проекторами, есть

$\begin{array}{cc}{A}_1& =c_1{r}_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1/7& 1/7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3/7& 3/7\\ 4/7& 4/7\end{array}\right]=A_1^2\\ A_2& =c_2{r}_2=\left[\begin{array}{c}1/7\\ -1/7\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}4& -3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4/7& -3/7\\ -4/7& 3/7\end{array}\right]=A_2^2,\end{array}$

при этом

$A_1{A}_2=0,A_1+A_2=E.$

Заметим, что $\mathrm{t}\mathrm{r}{A}_1=\mathrm{t}\mathrm{r}{A}_2=1$, что и требуется.

Литература

• Шаблон:Книга