Формула Сильвестра

Формула Сильвестра, матричная теорема Сильвестра (названа именем Дж. Дж. Сильвестра) или интерполяция Лагранжа — Сильвестра выражает аналитическую функцию $f(A)$ матрицы Шаблон:Mvar как многочлен от Шаблон:Mvar в терминах собственных значений и векторов матрицы Шаблон:MvarШаблон:SfnШаблон:Sfn. Теорема гласит, чтоШаблон:Sfn:

$f(A)=\sum _{i=1}^{k}f({\lambda }_i)A_i$,

где ${\lambda }_i$ — собственные значения матрицы Шаблон:Mvar, а матрицы

$A_i\equiv \prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{j=1}{j\ne i}}^k\frac{1}{{\lambda }_i-{\lambda }_j}(A-{\lambda }_{j}E)$

являются соответствующими ковариантами Фробениуса матрицы Шаблон:Mvar, которые являются матрицами (проекции) многочленов Лагранжа матрицы Шаблон:Mvar.

Условия

Формула Сильвестра применима для любой диагонализируемой матрицы Шаблон:Mvar с Шаблон:Mvar различными собственными значениями ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$ и любой функции Шаблон:Mvar, определённой на некотором подмножестве комплексных чисел, такой что $f(A)$ вполне определена. Последнее условие означает, что любое собственное значение ${\lambda }_i$ находится в области определения Шаблон:Mvar , причём если его кратность $m_i>1$, то оно находится внутри области определения, а сама функция Шаблон:Mvar дифференцируема ($m_i-1$) раз в точке ${\lambda }_i$Шаблон:Sfn.

Пример

Рассмотрим матрицу порядка 2:

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 2\end{array}\right]$.

Эта матрица имеет два собственных значения, 5 и −2. Её коварианты Фробениуса есть:

$\begin{array}{cc}{A}_1& =c_1{r}_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{7}& \frac{1}{7}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{7}& \frac{3}{7}\\ \frac{4}{7}& \frac{4}{7}\end{array}\right]=\frac{A+2E}{5-(-2)}\\ A_2& =c_2{r}_2=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{7}\\ -\frac{1}{7}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}4& -3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{7}& -\frac{3}{7}\\ -\frac{4}{7}& \frac{3}{7}\end{array}\right]=\frac{A-5E}{-2-5}\end{array}$.

Формула Сильвестра тогда сводится к:

$f(A)=f(5)A_1+f(-2)A_2$.

Например, если Шаблон:Mvar определяется выражением $f(x)=x^{-1}$, то формула Сильвестра выражает обратную матрицу $f(A)=A^{-1}$ как:

$\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{7}& \frac{3}{7}\\ \frac{4}{7}& \frac{4}{7}\end{array}\right]-\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{7}& -\frac{3}{7}\\ -\frac{4}{7}& \frac{3}{7}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-0,2& 0,3\\ 0,4& -0,1\end{array}\right]$.

Обобщение

Формула Сильвестра верна только для диагонализируемых матриц. Расширение, принадлежащее Шаблон:Не переведено и основанное на многочленах эрмитовой интерполяции, покрывает общий случайШаблон:Sfn

$f(A)=\sum _{i=1}^s[\sum _{j=0}^{n_i-1}\frac{1}{j!}{\varphi }_i^{(j)}({\lambda }_i){(A-{\lambda }_{i}E)}^j\prod _{j=1,j\ne i}^s{(A-{\lambda }_{j}E)}^{n_j}]$,

где ${\varphi }_i(t):=f(t)/\prod _{j\ne i}{(t-{\lambda }_j)}^{n_j}$.

Краткую форму позже предложил Ганс Швердтфегер:Шаблон:Sfn

$f(A)=\sum _{i=1}^s{A}_i\sum _{j=0}^{n_i-1}\frac{f^{(j)}({\lambda }_i)}{j!}(A-{\lambda }_{i}E{)}^j$,

где $A_i$ являются соответствующими ковариантами Фробениуса матрицы Шаблон:Mvar.

См. также

• Присоединённая матрица
• Резольвента интегрального уравнения

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
  • Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья