Конхоида Никомеда

Три конхоиды прямой с общим красным центром, красная $\ell =a/2$, зелёная $\ell =a$ и синяя $\ell =2a$

Конхоида Никомеда ― конхоида прямой, то есть кривая, получающаяся увеличением (вторая ветвь — уменьшением) радиус-вектора точек прямой на некую постоянную величину $\ell$; плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. Конхоида имеет две ветви, сама прямая конхоиды является асимптотой обеих ветвей.

Название происходит от Шаблон:Lang-grc — «похожий на раковину»Шаблон:Sfn.

Построение

Построение конхоиды Никомеда

Пусть на плоскости выбрана прямая Шаблон:Mvar и точка Шаблон:Mvar, отстоящая от прямой на расстояние Шаблон:Mvar. Проведём через точку Шаблон:Mvar луч, пересекающий прямую Шаблон:Mvar в некоторой точке Шаблон:Mvar; точки Шаблон:Mvar₁ и Шаблон:Mvar₂, лежащие на луче Шаблон:Mvar и отстоящие от точки Шаблон:Mvar на заранее выбранное расстояние Шаблон:Mvar, будут точками конхоиды. Меняя направление луча Шаблон:Mvar, можно построить всю конхоидуШаблон:Sfn.

Уравнения

Декартовы координаты

Если центр конхоиды помещён в начале координат, а прямая задана уравнением $y+a=0$ в декартовых прямоугольных координатах, то уравнение конхоиды имеет вид

${\ell }^2{y}^2=(x^2+y^2)(y+a{)}^2$

Начало координат является двойной точкой, характер которой зависит от величин $a$ и $\ell$:

• при $\ell <a$ ― изолированная точка
• при $\ell >a$ ― узловая точка
• при $\ell =a$ ― точка возврата

Полярные координаты

В полярных координатах, если начало координат находится на расстоянии $a$ от прямой, которая смещается вдоль радиус-вектора на расстояние $l$, уравнение конхоиды имеет видШаблон:Sfn

$r=\frac{a}{\cos \phi }\pm \ell .$

История

Кривая названа по имени Никомеда (III—II века до н. э.), который применял её для решения задачи о трисекции угла и удвоения кубаШаблон:Sfn.

Литература

• Прасолов В. В.. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 62.
• Савёлов А. А. Плоские кривые. Физматгиз, 1960.
• Шаблон:Книга