Кратномасштабный анализ

Кратномасштабный анализ (КМА) является инструментом построения базисов вейвлетов. Он был разработан в 1988/89 гг. Малла и И. Мейром. Идея кратномасштабного анализа заключается в том, что разложение сигнала производится по ортогональному базису, образованному сдвигами и кратномасштабными копиями вейвлетной функции. Свертка сигнала с вейвлетами позволяет выделить характерные особенности сигнала в области локализации этих вейвлетов.

Понятие кратномасштабного анализа (КМА) является фундаментальным в теории вейвлетов. Для кратномасштабного анализа разработан быстрый каскадный алгоритм вычислений, подобный быстрому преобразованию Фурье.

Определение

При выполнении КМА пространство сигналов $L^2(ℝ)$ представляется в виде системы вложенных подпространств $V_j\subset L^2(ℝ),j\in \mathbb{Z},$, отличающихся друг от друга перемасштабированием независимой переменной. Таким образом, кратномасштабным анализом (КМА) в $L^2(ℝ)$ называется совокупность замкнутых пространств $V_j(ℝ),j\in \mathbb{Z},$ если выполнены некоторые условия.

(1) Условие вложенности:

$V_j\subset V_{j+1}$ для всех $j\in \mathbb{Z}$. Все пространство сигналов $L^2(ℝ)$ в целом может быть представлено в виде последовательности вложенных друг в друга замкнутых подпространств соответствующих уровней $m$ декомпозиции сигнала;

(2) Условие полноты и плотности разбиения:

$\bigcup _{j\in \mathbb{Z}}{V}_j$ плотно в $L^2(ℝ);$

(3) Условие ортогональности подпространств:

$\bigcap _{j\in \mathbb{Z}}{V}_j=0;$

(4) Условие сохранения в подпространстве при сдвигах функций:

$f(t)\in V_j\iff f(t+1)\in V_j;$

(5) Масштабное преобразование любой функции $f(t)\in V_j$ по аргументу в 2 раза перемещает функцию в соседнее подпространство:

$f(t)\in V_j\iff f(2t)\in V_{j+1};$

$f(t)\in V_j\iff f(t/2)\in V_{j-1};$

(6) Существует $r(t)\in V_0$, целочисленные сдвиги которой по аргументу образуют ортонормированный базис пространства $V_0$:

$f_{0,k}(t)=f(t-k),k\in \mathbb{Z}.$ Функция $r(t)$ называется скейлинг-функцией (scaling function).

Свойства

Обозначим сдвиги и растяжения функции $f:$ $f_{k,n}(x)=2^{k/2}f(2^{k}x+n),k,n\in \mathbb{Z}.$

• Для любого $j\in \mathbb{Z}$ функции ${\phi }_{j,n},n\in \mathbb{Z}$ образуют ортонормированный базис в $V_j.$

• Если $f\in V_j,$ то $f(\cdot \pm 2^{-j})\in V_j,j\in \mathbb{Z}$.

• Функция $\phi$ из условия (5) называется масштабирующей для данного КМА.

Построение ортогональных базисов всплесков

Пусть $\{V_j{\}}_{j\in \mathbb{Z}}$ образуют КМА. Обозначим через $W_j$ ортогональное дополнение к $V_j$ в пространстве $V_{j+1}.$ Тогда пространство $V_{j+1}$ раскладывается в прямую сумму $V_{j+1}=V_j⨁W_j.$ Таким образом, проводя последовательное разложение пространств $V_j$ и учитывая условие (3), получим $V_{j+1}=\underset{i=-\mathrm{\infty }}{\overset{j}{⨁}}{W}_i.$ А используя условие (2), имеем: $L_2(ℝ)=\stackrel{‾}{\underset{j=-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{W}_j}.$

Таким образом, пространство $L_2(ℝ)$ разложено в прямую сумму попарно ортогональных подпространств $W_j.$ Важным является то, что функция $\phi$ порождает другую функцию $\psi \in W_0,$ целочисленные сдвиги которой являются ортонормированным базисом в $W_0.$ Построение такой $\psi$ может быть осуществлено при помощи следующей теоремы.

Многомерный КМА

В общем случае $n-$мерного пространства ортонормированный базис образует $2^n-1$ функций, при помощи которых осуществляется КМА любой функции их $L^2({ℝ}^n)$ пространства, при этом нормировочный множитель равен $2^{nm/2}$.

Примечания

• Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets, (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-585-47090-1
• Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А., Теория Всплесков, (2005), Физматлит, Москва, ISBN 5-9221-0642-2