Кратный интеграл Римана

Примечание: всюду в данной статье, где используется знак $\int$ имеется в виду (кратный) интеграл Римана $\left(R\right)\int$, если не оговорено обратное;
всюду в данной статье, где говорится об измеримости множества, имеется в виду измеримость по Жордану, если не оговорено обратное.

Определение

Пусть $A$ - измеримое (по Жордану) множество. Разбиение $T$ множества $A$ - это любой набор ${\left\{A_i\right\}}_{i=1}^m$ измеримых множеств, пересекающихся лишь по границам и $\bigcup _1^m{A}_i=A$. Выберем точки ${\xi }_i\in A_i,i=1,\dots ,m,\xi ={\left\{{\xi }_i\right\}}_{i=1}^m$ - получили $(T,\xi )={\{A_i,{\xi }_i\}}_{i=1}^m$ - разбиение с отмеченными точками.

Пусть функция $f$ определена на $A$, тогда интегральной суммой называется $\sigma (f,T,\xi )=\sum _{k=1}^{m}f({\xi }_k)\mu A_k$.

Функция $f$ интегрируема по Риману в кратном смысле на $A$ и $I$ - её интеграл, если $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0$: для любого отмеченного разбиения $(T,\xi )$ с ${\xi }_i\in A_i$ и диаметром $d{A}_i=\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x,y\in A_i}\rho (x,y)<\delta$ выполняется неравенство $|\sigma (f,T,\xi )-I|<\epsilon$. Обозначается интеграл от функции $f$ на измеримом множестве $A$: $\underset{A}{\int }fd\overrightarrow{x}$.

Некоторые свойства кратного интеграла Римана

1. Если функция $f$ интегрируема по Риману на измеримом множестве $A$, то $\mathrm{\exists }\delta >0$, что функция $f$ ограничена на множестве $A_{\delta }=\{x\in A:\rho (x,\text{int}A)<\delta \}$, где $\text{int}A$ - внутренность $A$. (См. Связь интегрируемости по Риману и ограниченности).
2. Если функция $f$ интегрируема по Риману на измеримом множестве $A$, функция $g$ определена на $A$ и $g(x)=f(x)$ на $A_{\delta }$ для некоторого $\delta >0$, то $g$ интегрируема по Риману на $A$ и $\underset{A}{\int }gd\overrightarrow{x}=\underset{A}{\int }fd\overrightarrow{x}$.
3. Линейность. Если $f\in R(A)$ (ограничена и интегрируема по Риману на $A$), то $\mathrm{\forall }\alpha \in ℝ$ функция $\alpha f\in R(A)$ и $\underset{A}{\int }\alpha fd\overrightarrow{x}=\alpha \underset{A}{\int }fd\overrightarrow{x}$. Если $f,g\in R(A)$, то $f\pm g\in R(A)$ и $\underset{A}{\int }(f\pm g)d\overrightarrow{x}=\underset{A}{\int }fd\overrightarrow{x}\pm \underset{A}{\int }gd\overrightarrow{x}$. Следует из свойств интеграла как предела по базе.
4. Аддитивность по множествам. Если $f\in R(A)$ и $f\in R(B)$, то $f\in R(A\cup B)$ и, если $\mu (A\cap B)=0$, то $\underset{A\cup B}{\int }fd\overrightarrow{x}=\underset{A}{\int }fd\overrightarrow{x}+\underset{B}{\int }fd\overrightarrow{x}$. Первая часть следует из критерия Лебега.
5. Интегрируемость по подмножеству. Если $f\in R(A)$, $B$ - измеримое по Жордану подмножество $A$, то $f\in R(B)$. Следует из критерия Лебега.
6. Если $f,g\in R(A)$, то $f*g\in R(A)$. Следует из критерия Лебега.
7. Если $f\in R(A)$, функция $\phi$ непрерывна на отрезке $[\alpha ,\beta ]\supset f(A)\Rightarrow \phi (f)\in R(A)$. Следует из критерия Лебега.
8. Если $f\in R(A)$, и $f$ изменить на множестве $B\subset A,\mu B=0$, то измененная функция $\tilde{f}$, при условии её ограниченности на $A$, также интегрируема по Риману на $A$ и $\underset{A}{\int }\tilde{f}d\overrightarrow{x}=\underset{A}{\int }fd\overrightarrow{x}$.
9. Если $f,g\in R(A)$ и $f(x)⩽g(x)$ на $A$, то $\underset{A}{\int }fd\overrightarrow{x}⩽\underset{A}{\int }gd\overrightarrow{x}$. Следует из свойств интеграла как предела по базе.
10. Если $f\in R(A)$, то $\left|f\right|\in R(A)$ и $\left|\underset{A}{\int }fd\overrightarrow{x}\right|⩽\underset{A}{\int }\left|f\right|d\overrightarrow{x}$.
11. Если $f\in R(A)$, $f(x)⩾0$ на $A$ и $f(x_0)>0,x_0$ - внутренняя точка $A$ и точка непрерывности $f$, то $\underset{A}{\int }fd\overrightarrow{x}>0$.

Теоремы

• Критерий интегрируемости Дарбу.

Шаблон:Main Ограниченная функция $f$ на измеримом множестве $A$ интегрируема по Риману $\iff I_{*}(f)=I^{*}(f)$, и в случае равенства: $I_{*}(f)=I^{*}(f)=\underset{A}{\int }fd\overrightarrow{x}$, где $I_{*}$ и $I^{*}$ - соответственно нижний и верхний интегралы Дарбу.

• Критерий интегрируемости Лебега.

Ограниченная $f$ на измеримом множестве $A$ интегрируема по Риману $\iff f$ непрерывна почти всюду на $A$.

• Теоремы о связи интеграла Римана и меры Жордана.
  • Теорема 1. Пусть $A$ - измеримое множество в ${ℝ}^n,E\subset A$. Тогда измеримость по Жордану множества $E\iff$ характеристическая функция ${\chi }_E$ интегрируема по Риману на $A$, и в случае измеримости $E$ выполняется равенство: $\mu E=\underset{A}{\int }{\chi }_{E}d\overrightarrow{x}$.
  • Теорема 2. Пусть $A$ - измеримое множество в ${ℝ}^n$, функция $f(\overrightarrow{x})⩾0$ на $A$. Пусть множество $A_f=\{(\overrightarrow{x},y)\in {ℝ}^{n+1}:\overrightarrow{x}\in A,0⩽y⩽f(\overrightarrow{x})\}$. Тогда интегрируемость по Риману ограниченной функции $f$ на множестве $A\iff$ множество $A_f$ измеримо по Жордану в ${ℝ}^{n+1}$. При этом в случае измеримости $A_f$ выполняется равенство: ${\mu }^{n+1}{A}_f=\underset{A}{\int }fd\overrightarrow{x}$.
  • Следствие. Ограниченная на измеримом множестве $A\subset {ℝ}^n$ функция $f$ интегрируема по Риману на $A\iff$ множества $A_f^{+}=\{(\overrightarrow{x},y)\in {ℝ}^{n+1}:\overrightarrow{x}\in A,0⩽y⩽f(\overrightarrow{x})\}$ и $A_f^{-}=\{(\overrightarrow{x},y)\in {ℝ}^{n+1}:\overrightarrow{x}\in A,f(\overrightarrow{x})⩽y⩽0\}$ измеримы по Жордану в ${ℝ}^{n+1}$. И в случае их измеримости выполняется равенство: $\underset{A}{\int }fd\overrightarrow{x}={\mu }^{(n+1)}{A}_f^{+}-{\mu }^{(n+1)}{A}_f^{-}$.
• Теоремы о сведении кратных интегралов Римана в повторным.
  • Теорема. Пусть функция $f\in R(\mathrm{\Pi })$, где $\mathrm{\Pi }$ - брус, являющийся произведением промежутков: $\mathrm{\Pi }=\prod _{k=1}^n[a_k,b_k]\subset {ℝ}^n$. Пусть $1⩽m<n$, для каждого $\overrightarrow{\xi }\in {\mathrm{\Pi }}^{{\text{'}}^{\prime }}=\prod _{k=m+1}^n[a_k,b_k]\subset {ℝ}^{n-m}$, обозначим через $I_{*}(\overrightarrow{\xi })$ и $I^{*}(\overrightarrow{\xi })$ нижний и верхний интегралы Дарбу от $f(\overrightarrow{x}{}^{\prime },\overrightarrow{\xi })$ по $\overrightarrow{\xi }{}^{\prime }\in {ℝ}^m$ на ${\mathrm{\Pi }}^{\text{'}}=\prod _{k=1}^m[a_k,b_k]\subset {ℝ}^m$. Тогда $I_{*}(\overrightarrow{\xi })$ и $I^{*}(\overrightarrow{\xi })$ интегрируемы по Риману на ${\mathrm{\Pi }}^{{\text{'}}^{\prime }}$ и $\underset{{\mathrm{\Pi }}^{{\text{'}}^{\prime }}}{\int }{I}_{*}(\overrightarrow{\xi })d\overrightarrow{\xi }=\underset{{\mathrm{\Pi }}^{{\text{'}}^{\prime }}}{\int }{I}^{*}(\overrightarrow{\xi })d\overrightarrow{\xi }=\underset{\mathrm{\Pi }}{\int }f(\overrightarrow{x})d\overrightarrow{x}$.
  • Следствие 1. Пусть $f\in R(\mathrm{\Pi })$, где $\mathrm{\Pi }$ - брус, являющийся произведением промежутков: $\mathrm{\Pi }=\prod _{k=1}^n[a_k,b_k]\subset {ℝ}^n,1⩽m<n.{\mathrm{\Pi }}^{{\text{'}}^{\prime }}=\prod _{k=m+1}^n[a_k,b_k]$. Пусть $I(\overrightarrow{x}{}^{″}),\overrightarrow{x}{}^{″}\in {\mathrm{\Pi }}^{{\text{'}}^{\prime }}$, такая функция на ${\mathrm{\Pi }}^{{\text{'}}^{\prime }}$, что $I_{*}(\overrightarrow{x}{}^{″})⩽I(\overrightarrow{x}{}^{″})⩽I^{*}(\overrightarrow{x}{}^{″})⩽$, где $I_{*}(\overrightarrow{x}{}^{″})$ и $I^{*}(\overrightarrow{x}{}^{″})$ - соответственно нижний и верхний интегралы Дарбу от $f(\overrightarrow{x}{}^{\prime },\overrightarrow{x}{}^{″})$ при фиксированном $\overrightarrow{x}{}^{″}$ по $\overrightarrow{x}{}^{\prime }$ на ${\mathrm{\Pi }}^{\text{'}}=\prod _{k=1}^m[a_k,b_k]$. Тогда функция $I(\overrightarrow{x}{}^{″})$ интегрируема по Риману на ${\mathrm{\Pi }}^{{\text{'}}^{\prime }}$ и $\underset{{\mathrm{\Pi }}^{{\text{'}}^{\prime }}}{\int }I(\overrightarrow{x}{}^{\prime })d\overrightarrow{x}{}^{″}=\underset{\mathrm{\Pi }}{\int }f(\overrightarrow{x})d\overrightarrow{x}$.
  • Следствие 2. Пусть $f\in R(\mathrm{\Pi })$, где $\mathrm{\Pi }$ - брус, являющийся произведением промежутков: $\mathrm{\Pi }=\prod _{k=1}^n[a_k,b_k]\subset {ℝ}^n,1⩽m<n$. Если $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}{}^{″}\in {\mathrm{\Pi }}^{{\text{'}}^{\prime }}=\prod _{k=m+1}^n[a_k,b_k]\subset {ℝ}^{n-m}$, функция $f(\overrightarrow{x}{}^{\prime },\overrightarrow{x}{}^{″})$ интегрируема по Риману на ${\mathrm{\Pi }}^{\text{'}}=\prod _{k=1}^m[a_k,b_k]\subset {ℝ}^m$, то её интеграл $\underset{{\mathrm{\Pi }}^{\text{'}}}{\int }f(\overrightarrow{x}{}^{\prime },\overrightarrow{x}{}^{″})d\overrightarrow{x}{}^{\prime }$ интегрируем по Риману на ${\mathrm{\Pi }}^{{\text{'}}^{\prime }}$ и $\underset{{\mathrm{\Pi }}^{{\text{'}}^{\prime }}}{\int }\underset{{\mathrm{\Pi }}^{\text{'}}}{\int }f(\overrightarrow{x}{}^{\prime },\overrightarrow{x}{}^{″})d\overrightarrow{x}{}^{\prime }d\overrightarrow{x}{}^{″}=\underset{\mathrm{\Pi }}{\int }f(\overrightarrow{x})d\overrightarrow{x}$
  • Следствие 3. Пусть $f\in R(A)$. Обозначим через $A^{{\text{'}}^{\prime }}$ - проекцию множества $A$ на ${ℝ}^{n-m},A^{{\text{'}}^{\prime }}=\{\overrightarrow{x}{}^{″}\in {ℝ}^{n-m}:\mathrm{\exists }\overrightarrow{x}{}^{\prime }\in {ℝ}^m,$ что $(\overrightarrow{x}{}^{\prime },\overrightarrow{x}{}^{″})\in A\},1⩽m<n$. Для $\overrightarrow{x}{}^{″}\in A$ обозначим через $A^{\text{'}}$ - сечение множества $A,A^{\text{'}}(\overrightarrow{x}{}^{″}=\{\overrightarrow{x}{}^{\prime }\in {ℝ}^m:(\overrightarrow{x}{}^{\prime },\overrightarrow{x}{}^{″})\in A\}$. Предположим, что $A^{{\text{'}}^{\prime }}$ и все $A^{\text{'}}$ - измеримые по Жордану множества в ${ℝ}^{n-m}$ и ${ℝ}^m$ соответственно, причём для каждого $\overrightarrow{x}{}^{″}\in A^{{\text{'}}^{\prime }}$ функция $f(\overrightarrow{x}{}^{\prime },\overrightarrow{x}{}^{″})\in R(A^{\text{'}}(\overrightarrow{x}{}^{″}))$. Тогда $\underset{A^{\text{'}}(\overrightarrow{x}{}^{″})}{\int }f(\overrightarrow{x}{}^{\prime },\overrightarrow{x}{}^{″})d\overrightarrow{x}{}^{\prime }$ интегрируем на $A^{{\text{'}}^{\prime }}$ и $\underset{A^{{\text{'}}^{\prime }}}{\int }\underset{A^{\text{'}}(\overrightarrow{x}{}^{″})}{\int }f(\overrightarrow{x}{}^{\prime },\overrightarrow{x}{}^{″})d\overrightarrow{x}{}^{\prime }d\overrightarrow{x}{}^{″}=\underset{A}{\int }f(\overrightarrow{x})d\overrightarrow{x}$.

См. также

• Кратный интеграл
• Несобственный кратный интеграл Римана
• Одномерный интеграл Римана
• Интеграл Римана — Стилтьеса
• Интеграл Лебега
• Интеграл Мак-Шейна
• Интеграл Курцвейля — Хенстока
• Теорема Фубини
• Формула Ньютона — Лейбница
• Интеграл Даниэля