Лемма Синга

Лемма Синга — ключевое утверждение о стабильности замкнутых геодезических в римановых многообразиях с положительной секционной кривизной.

Лемма является прямым следствием формулы для второй вариации длин однопараметрического семейства кривых. Она использовалась Джоном Сингом.

Формулировка

Пусть $\gamma :[0;1]\to M$ есть геодезическая в римановом многообразии $M$ с положительной секционной кривизной и $V$ параллельное поле касательных векторов на $\gamma$. Тогда вариация $\gamma$ в направлении $V$ сокращает её длину.

Более точно, если

${\gamma }_{\tau }(t)={\exp }_{\gamma (t)}(\tau \cdot V(t))$

и $L(\tau )$ обозначает длину кривой ${\gamma }_{\tau }$ тогда $L^{\prime }(0)=0$ и $L^{″}(0)<0$.

Следствия

• Eсли замкнутая геодезическая допускающая параллельное векторное поле не является стабильной, то есть её длина может быть уменьшена произвольно малой деформацией. В частности,
  • Чётномерные ориентированные римановы многообразия с положительной секционной кривизной односвязны.
  • Нечётномерные римановы многообразия с положительной секционной кривизной ориентированны.
• Лемма Синга использовалась также Шаблон:Iw для доказательства того, что если $V$ и $W$ являются замкнутыми геодезическими подмногобразиями в римановом многообразии $M$ с положительной секционной кривизной и $\dim V+\dim W\ge \dim M$ то $V$ и $W$ пересекаются.