Линейная операция

Сложение векторов и умножение вектора на число

Лине́йная опера́ция над векторами — операция сложения векторов либо операция умножения вектора на числоШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Иногда к этим двум операциям добавляют операцию вычитания векторовШаблон:Sfn.

Определение

Линейные операции над векторами — операции сложения векторов, вычитания векторов и умножения вектора на скаляр. Эти операции называются линейными потому, что если над векторами $𝐚$, $𝐛$, $𝐜$ и $𝐝$ выполнить конечное количество произвольных действий сложения, вычитания и умножения на скаляр, то в результате получится новый вектор — линейная комбинация исходных векторов

$\alpha 𝐚+\beta 𝐛+\gamma 𝐜+\delta 𝐝$,

где $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ – скаляры (действительные числа)Шаблон:Sfn.

Сложение векторов

Треугольник сложения произвольных векторов: сумма векторов c = a + b

Сложе́ние векторо́в, или геометри́ческое сложе́ние векторо́вШаблон:Sfn (Шаблон:Lang-en) — операция, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — сумму векторовШаблон:Sfn. При этом сумма $𝐚+𝐛$ двух векторов $𝐚$ и $𝐛$ — это третий вектор $𝐜=𝐚+𝐛$, проведённый из начала одного вектора к концу второго, причём конец первого вектора совпадает с началом второго (правило треугольника). Сумма векторов геометрически строится с помощью правил — алгоритмов построения вектора суммы по векторам-слагаемым (см. рисунок с треугольником сложения векторов справа)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Три вектора $𝐚$, $𝐛$ и $𝐜=𝐚+𝐛$ всегда компланарны, то есть параллельны одной плоскостиШаблон:Sfn.

Векторы, которые складываются, называются слагаемыми векторами, а результат сложения — геометрической суммой, или результирующим векторомШаблон:Sfn.

Результат сложения векторов не зависит от расположения первого слагаемого, при его изменении треугольник сложения будет параллельно перенесёнШаблон:Sfn.

Существуют два действия, обратных сложению векторовШаблон:Sfn:

• геометрическое вычитание векторов;
• геометрическое разложение вектора.

Законы сложения

Операция сложения в математике в векторной алгебре векторов как геометрическое построение по правилу многоугольника возникла как обобщение операции вычисления равнодействующей силы в механике. Правомерность названия «сложение» заключается также и в том, что операция сложения векторов подчиняется тем же двум законам, что и арифметическая операция сложения чисел, а именноШаблон:Sfn:

• сочетательный закон (ассоциативность);
• переместительный закон (коммутативность).

Эти законы и аналогичные законы для сложения чисел записываются одинаково. Что не только важно, но и удобно, поскольку позволяет работать с векторными равенствами, не переучиваясь, так же, как с числовыми равенствами. Эта аналогия распространяется и на вычитание векторов, а также действия с равенствами векторовШаблон:Sfn.

Вычитание векторов

Треугольник вычитания произвольных векторов: разность векторов c = a - b

Вычита́ние векторо́в, или геометри́ческое вычита́ние векторо́в (Шаблон:Lang-en) — операция, обратная сложению, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — разность векторов, другими словами, по сумме векторов и одному слагаемому определяется второе слагаемоеШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. При этом разность $𝐚-𝐛$ двух векторов $𝐚$ и $𝐛$ — это третий вектор $𝐜=𝐚-𝐛$ такой, что $𝐜+𝐛=𝐚$ (см. рисунок справа с треугольником вычитания векторов)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Первый вектор разности называется уменьшаемым, а второй — вычитаемымШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Умножение вектора на число

Умножение вектора на положительные (синие) и отрицательные (красные) числа

Умноже́ние ве́ктора на число́ (Шаблон:Lang-en) – операция, ставящая в соответствие вектору и числу другой коллинеарный вектор — произведение вектора на это числоШаблон:Sfn. При этом произведение вектора и числа в случае ненулевых вектора и числа — новый вектор, у которогоШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• модуль равен произведению модуля исходного вектора на абсолютную величину числа;
• направление, совпадающее с направлением исходного вектора, если число положительно, и противоположное, если число отрицательно (см. рисунок справа).

Обозначение произведения вектора $𝐚$ и скаляра $\lambda$ следующееШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$𝐚\lambda$ или $\lambda 𝐚.$

В итоге получаемШаблон:Sfn:

$|\lambda 𝐚|=|𝐚\lambda |=|\lambda ||𝐚|.$

Произведение вектора и числа равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулюШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\lambda \mathrm{𝟎}=0𝐚=\mathrm{𝟎}.$

Существуют два действия, обратных умножению вектора на число:

• деление вектора на число;
• деление вектора на вектор.

Законы умножения на скаляр

Три закона умножения вектора на скаляр те же самые, что и законы умножения чиселШаблон:Sfn:

• переместительности (коммутативность):

$\lambda 𝐚=𝐚\lambda$;

• сочетательности (ассоциативность):

$\lambda (\mu 𝐚)=(\lambda \mu )𝐚$;

• распределительности (дистрибутивность):

$(𝐚+𝐛)\lambda =𝐚\lambda +𝐛\lambda$;

$(\lambda +\mu )𝐚=\lambda 𝐚+\mu 𝐚$.

Разложение вектора

Геометрическое вычитание векторов — операция, обратная геометрическому сложению векторов. Кроме неё, обратной операцией к сложению векторов является геометрическое разложение вектора, или просто разложение вектора — операция представления данного вектора в виде замыкающей нескольких векторов. Геометрически строится ломаная линия, которую замыкает данный вектор. Но так эту операцию определить нельзя, и чтобы её определить, нужно наложить на геометрические слагаемые определённые условияШаблон:Sfn.

Применение линейных операций

Применение линейных операций — использование линейных операций над векторами:

• сложение векторов;
• вычитание векторов;
• умножение вектора на число, —

для решения математических и физических задач. Рассмотрим несколько примеров решения задач разной степени трудности с применением векторов. Использование векторов делает предложенные задачиШаблон:Sfn:

• вычислительными, то есть сводит чисто геометрические рассуждения (с треугольниками, трапециями, средними линиями. медианами и так далее) к вычислениям с векторами, обычно достаточно простыми;
• решаемыми при желании без помощи чертежей, которые обычно представляют только один частный случай задачи, что вызывает сомнение в их универсальности;
• параллельное доказательство похожих (и, возможно, различно сформулированных) планиметрических и стереометрических закономерностей.

Коллинеарность и компланарность точек

Коллинеарность трёх точек

Шаблон:ЯкорьЗадача 1. Три точки $A$, $B$ и $C$, где

$\overrightarrow{OA}=𝐚$, $\overrightarrow{OB}=𝐛$, $\overrightarrow{OC}=𝐜$,

$𝐜=\lambda 𝐚+\mu 𝐛$,

тогда и только тогда коллинеарны, то есть лежат на одной прямой, когда (см. рисунок справа)

$\lambda +\mu =1$.

Исключение: коллинеарность векторов $𝐚$ и $𝐛$, когда три точки $A$, $B$ и $C$ всегда лежат на одной прямой при любых числах $\lambda$ и $\mu$Шаблон:Sfn. Шаблон:Clear

Замечание. Уравнение $𝐜=\lambda 𝐚+\mu 𝐛$ с ограничением $\lambda +\mu =1$ — относительно полюса $O$ векторное уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки $A$ и $B$, $𝐚=\overrightarrow{OA}$, $𝐛=\overrightarrow{OB}$, $𝐜=\overrightarrow{OC}$. При этом значения коэффициентов $\lambda$ и $\mu$ вычисляются как частные векторовШаблон:Sfn:

$\lambda =\frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{BA}};$ $\mu =\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AB}}.$

Шаблон:ЯкорьЗадача 1'. Найти такой радиус-вектор $\overrightarrow{OC}=𝐜$, который делит отрезок $AB$ в данном отношении $\frac{x}{y}=\nu$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.Шаблон:Sfn

Решение. Используя полученные результаты, имеем, учитывая, что в данном случае коэффициенты $\lambda ,\mu ⩾0$Шаблон:Sfn:

$\frac{AC}{CB}=\frac{x}{y}=\nu$,

$\frac{AC}{AB}=\frac{AC}{AC+CB}=\frac{x}{x+y}=\mu$,

$\lambda =1-\mu =\frac{y}{x+y}$,

$𝐜=\lambda 𝐚+\mu 𝐛=\frac{y𝐚+x𝐛}{x+y}=\frac{𝐚+\nu 𝐛}{1+\nu }$.

Можно провести вычисления корочеШаблон:Sfn:

$\overrightarrow{AC}=\nu \overrightarrow{CB}$,

$𝐜-𝐚=\nu (𝐛-𝐜)$,

$𝐜=\frac{𝐚+\nu 𝐛}{1+\nu }$.

В частности, при $\frac{AC}{CB}=\frac{x}{y}=\nu =1$ имеем:

$𝐜=\lambda 𝐚+\mu 𝐛=\frac{𝐚+𝐛}{2}$,

другими словами, радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиусов-векторов его концовШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Шаблон:ЯкорьЗадача 2. Четыре точки $A$, $B$, $C$ и $D$, где

$\overrightarrow{OA}=𝐚$, $\overrightarrow{OB}=𝐛$, $\overrightarrow{OC}=𝐜$, $\overrightarrow{OD}=𝐝$,

$𝐝=\lambda 𝐚+\mu 𝐛+\mu 𝐜$,

тогда и только тогда компланарны, то есть лежат в одной плоскости, когда (см. рисунок справа)

$\lambda +\mu +\nu =1$.

Исключение: компланарность векторов $𝐚$, $𝐛$ и $𝐜$, когда четыре точки $A$, $B$, $C$ и $D$ всегда лежат в одной плоскости при любых числах $\lambda$, $\mu$ и $\nu$Шаблон:Sfn.

Замечание. Уравнение $𝐝=\lambda 𝐚+\mu 𝐛+\mu 𝐜$ с ограничением $\lambda +\mu +\nu =1$ — относительно полюса $O$ векторное уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки $A$, $B$ и $C$, $𝐚=\overrightarrow{OA}$, $𝐛=\overrightarrow{OB}$, $𝐜=\overrightarrow{OC}$, $𝐝=\overrightarrow{OD}$Шаблон:Sfn.

Построение треугольника

Треугольник из векторов

Здесь приведены две задачи на построение треугольника.

Шаблон:ЯкорьЗадача 3. Найти условие, которому отвечают три вектора, образующие треугольник (см. рисунок справа)Шаблон:Sfn.

Решение. Рисунок справа показывает, что искомое условие для трёх векторов следующее:

$𝐚+𝐛+𝐜=0$,

потому что тогда и только тогда ломаная линия $BCAB$ будет замкнута и получится треугольникШаблон:Sfn.

Треугольник из векторов и медиана

Шаблон:ЯкорьЗадача 4. Доказать, что всегда можно построить треугольник с тремя сторонами, равными и параллельными трём медианам данного треугольника $ABC$ (см. рисунок справа)Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Решение 1. Пусть $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ и $C^{\prime }$ — середины сторон треугольника соответственно $BC$, $CA$ и $AB$. Разложим векторы $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ и $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$, которые представляют медианы треугольника, по векторам $𝐚$, $𝐛$ и $𝐜$. Разложим медиану $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$:

$\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}𝐚$,

$\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=𝐜+\frac{1}{2}𝐚$,

аналогично

$\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=𝐚+\frac{1}{2}𝐛$,

$\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=𝐛+\frac{1}{2}𝐜$,

и проверяем условие того, что векторы $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ и $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ составляют треугольник — условие задачи 3Шаблон:Sfn:

$𝐚+𝐛+𝐜=0$,

$\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=𝐜+\frac{1}{2}𝐚+𝐚+\frac{1}{2}𝐛+𝐛+\frac{1}{2}𝐜=\frac{3}{2}(𝐚+𝐛+𝐜)=0$.

Решение 2. Разложим векторы $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ и $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ по векторам $𝐚$, $𝐛$ и $𝐜$ по-другому, как в задачи 1':

$\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\frac{𝐜+(-𝐛)}{2},\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\frac{𝐚+(-𝐜)}{2},\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\frac{𝐛+(-𝐚)}{2},$

и после сложения этих трёх равенств получаемШаблон:Sfn:

$\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\frac{𝐜+(-𝐛)+𝐚+(-𝐜)+𝐛+(-𝐚)}{2}=0$.

Совпадение середин отрезков

Здесь представлены по сути две одинаковые задачи, но по-разному сформулированные и по-разному решённые.

Равенство векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$

Шаблон:ЯкорьЗадача 5. Два вектора $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ (на прямой, плоскости или в пространстве) равны тогда и только тогда. когда совпадают середины отрезков $AD$ и $BC$Шаблон:Sfn.

Решение. 1. Необходимость. Докажем, что если два вектора равны: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, а точка $P$ — середина отрезка $AD$, то есть $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PD}$, то тогда $P$ — также середина отрезка $BC$. Действительно,

$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PD}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{PC}$,

то есть $P$ — середина отрезка $BC$Шаблон:Sfn.

2. Достаточность. Докажем, что если середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают в точке $P$:

$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PD},\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{PC}$,

то тогда векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ равны. Действительно,

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{CD}$,

то есть векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ равныШаблон:Sfn. Шаблон:Clear

Параллелограмм и его диагонали

Задача 6. Доказать, что если две диагонали произвольного четырёхугольника делят друг друга пополам, то такой четырёхугольник — параллелограммШаблон:Sfn.

Решение. Пусть $𝐚$, $𝐛$, $𝐜$ и $𝐝$ — радиус-векторы четырёх последовательных вершин четырёхугольника $ABCD$ (см. рисунок справа). Тогда, по задаче 1',

${𝐞}^{\prime }=\frac{1}{2}(𝐚+𝐜)$ —

радиус-вектор середины одной диагонали, а

${𝐞}^{″}=\frac{1}{2}(𝐛+𝐝)$ —

радиус-вектор середины другой диагонали. Поскольку диагонали делят друг друга пополам, то их середины совпадают:

$\frac{1}{2}(𝐚+𝐜)=\frac{1}{2}(𝐛+𝐝)$,

$𝐛-𝐚=𝐜-𝐝$,

другими словами, вектор $𝐛-𝐚$ равен и параллелен вектору $𝐜-𝐝$. Поскольку эти векторы представляют противоположные стороны четырёхугольника $ABCD$, то $ABCD$ — параллелограммШаблон:Sfn. Шаблон:Clear

Пересечение трёх прямых в одной точке

Задача 7. Доказать, что медианы произвольного треугольника пересекаются в одной точке и найти радиус-вектор этой точкиШаблон:Sfn.

Задача 8. Доказать, что биссектрисы произвольного треугольника пересекаются в одной точке и найти радиус-вектор этой точкиШаблон:Sfn.

Задача 9. В треугольнике $ABC$ точки $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ и $C^{\prime }$ лежат произвольно на сторонах $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно. Найти соотношение между шестью отрезками $A{C}^{\prime }$, $C^{\prime }B$, $B{A}^{\prime }$, $A^{\prime }C$, $C{B}^{\prime }$ и $B^{\prime }C$, при которых прямые $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$ и $C{C}^{\prime }$ пересекаются в одной точке $P$Шаблон:Sfn.

Построение долей отрезка

Построение целой части отрезка

Задача 10. Доказать, что описанное ниже рекуррентное построение доставляет любую целую часть, то есть половину, треть, четверть и так далее, заданного отрезка $AB$ (см. рисунок справа)Шаблон:Sfn:

• параллельно заданному отрезку $AB$ проведём прямую $CD$. Затем через точку $O$, расположенную с одной стороны этих отрезков, проведём прямые $OA$ и $OB$, пересекающие прямую $CD$ в точка $C$ и $D$ соответственно;
• диагонали трапеции $ABDC$ пересекаются в точке $K_2$. Прямая $O{K}_2$ пересекает отрезок $AB$ в точке $L_2$. Получаем, что $A{L}_2=\frac{1}{2}AB;$
• прямая $C{L}_2$ пересекает диагональ $AD$ в точке $K_3$. Прямая $O{K}_3$ пересекает отрезок $AB$ в точке $L_3$. Получаем, что $A{L}_3=\frac{1}{3}AB$. И так далее.

Центр масс трёх материальных точек

Задача 11. Центр масс системы двух материальных точек обладает двумя свойствамиШаблон:Sfn:

• лежит на линии, соединяющей эти две материальные точки;
• делит эту линию в отношении, обратно пропорциональном массам материальных точек.

Исходя из этого, найти центр масс системы трёх материальных точекШаблон:Sfn.

Решение. Пусть массы $m_1$, $m_2$ и $m_3$ сосредоточены в материальных точках соответственно $M_1$, $M_2$ и $M_3$ с радиус-векторами соответственно ${𝐫}_1$, ${𝐫}_2$ и ${𝐫}_3$. Тогда, по задаче 1', радиус-вектор центра масс системы двух материальных точек $M_1$ и $M_2$

${𝐫}^{\prime }=\frac{m_1{𝐫}_1+m_2{𝐫}_2}{m_1+m_2}$,

отсюда по той же формуле находим радиус-вектор центра масс системы трёх материальных точек $M_1$, $M_2$ и $M_3$ как центр масс двух точек: центра масс системы точек $M_1$ и $M_2$ и точки $M_3$Шаблон:Sfn:

$𝐫=\frac{(m_1+m_2){𝐫}^{\prime }+m_3{𝐫}_3}{(m_1+m_2)+m_3}=\frac{m_1{𝐫}_1+m_2{𝐫}_2+m_3{𝐫}_3}{m_1+m_2+m_3}.$

Тетраэдр и середины рёбер

Задача 12. Пусть дан тетраэдр (см. рисунок справа). Доказать, чтоШаблон:Sfn:

• три отрезка, которые соединяют середины противоположных рёбер тетраэдра (на рисунке зелёные), пересекаются в общей точке, которая их делит пополам;
• в этой же точке пересекаются четыре отрезка (на рисунке один из них — красный), которые соединяют вершины тетраэдра с центрами масс противоположных граней, причём эта точка делит эти четыре отрезки, считая от вершины, в отношении $3:1$.

Трапеция

Середины оснований трапеции

Задача 13. Через середины оснований трапеции проведена прямая. Доказать, что эта прямая проходит также и через точку пересечения продолжения боковых сторон трапецииШаблон:Sfn.

Решение. Обозначим вершины трапеции последовательно через $A$, $B$, $C$ и $D$, середины оснований $BC$ и $AD$ — через $M$ и $N$ соответственно, а точку пересечения прямых $AB$ и $CD$ — через $O$ (см. рисунок справа)Шаблон:Sfn.

Поскольку треугольники $OAD$ и $OBC$ подобны по первому признаку подобия треугольников, то получаем следующую пропорциюШаблон:Sfn:

$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}=k.$

Векторы $\overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{OA}$ сонаправлены, также как и векторы $\overrightarrow{OC}$ и $\overrightarrow{OD}$, следовательно, верны следующие равенстваШаблон:Sfn:

$\overrightarrow{OA}=k\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD}=k\overrightarrow{OC}.$

Поскольку точка $M$ — середина отрезка $BC$, то

$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}),$

и аналогично имеемШаблон:Sfn:

$\overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}).$

Подставим в последнее равенство выражения для $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OD}$:

$\overrightarrow{ON}=\frac{k}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\frac{k}{2}\overrightarrow{OM},$

то есть векторы $\overrightarrow{ON}$ и $\overrightarrow{OM}$ коллинеарны, следовательно, точка $O$ лежит на прямой $MN$Шаблон:Sfn.

Средняя линия трапеции

Задача 14. Доказать, что средняя линия любой трапеции параллельна её двум основаниям и равна их полусуммеШаблон:Sfn.

Решение. Пусть трапеция $ABCD$ имеет среднюю линию $MN$. Воспользуемся правилом многоугольника:

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN},$

и сложим эти равенства, получимШаблон:Sfn:

$2\overrightarrow{MN}=(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{DN}).$

Поскольку точки $M$ и $N$ — середины сторон соответственно $AB$ и $CD$, то

$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{DN}=0,$

следовательно, можно записать следующие равенстваШаблон:Sfn:

$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC},$

$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}).$

Из того, что векторы $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{BC}$ сонаправлены, получаем, чтоШаблон:Sfn:

• векторы $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{AD}$ также сонаправлены, то есть средняя линия параллельна основанию трапеции;

  $MN=\frac{AD+BC}{2}.$

Четыре точки в пространстве

Середины сторон четырёхугольника образуют параллелограмм

Задача 15. Дан четырёхугольник, не обязательно плоский. Доказать, что середины его сторон являются вершинами плоской фигуры — параллелограммаШаблон:Sfn.

Решение. В четырёхугольнике $ABCD$ с серединами сторон $M$, $N$, $P$ и $Q$ имеют место следующие соотношения:

$\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}=$

$=(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BN})+(\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DQ})=$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}=$

$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA})=\frac{1}{2}\overrightarrow{AA}=\mathrm{𝟎}$,

то есть $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}$, другими словами, у четырёхугольника $MNPQ$ противоположные стороны равны и параллельны, следовательно, четырёхугольник $MNPQ$ — параллелограммШаблон:Sfn. Шаблон:Clear

Три точки и шесть симметричных относительно них

Задача 16. Пусть даны четыре точки, не обязательно лежащие в одной плоскости: $M$, $N_1$, $N_2$ и $N_3$. Построим ещё шесть точекШаблон:Sfn:

• $M_1$ — симметричную $M$ относительно $N_1$;
• $M_2$ — симметричную $M_1$ относительно $N_2$;
• $M_3$ — симметричную $M_2$ относительно $N_3$;
• $M_4$ — симметричную $M_3$ относительно $N_1$;
• $M_5$ — симметричную $M_4$ относительно $N_2$;
• $M_6$ — симметричную $M_5$ относительно $N_3.$

Доказать, что точки $M$ и $M_6$ совпадаютШаблон:Sfn.

Стандартное решение этой задачи, то есть решение, не использующее векторов, утомительно, поскольку состоит в рассмотрении многих треугольниковШаблон:Sfn.

Решение. Возьмём произвольную фиксированную точку $O$. По Задаче 1' получаем шесть равенствШаблон:Sfn:

$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{O{M}_1}=2\overrightarrow{O{N}_1},$

$\overrightarrow{O{M}_1}+\overrightarrow{O{M}_2}=2\overrightarrow{O{N}_2},$

$\overrightarrow{O{M}_2}+\overrightarrow{O{M}_3}=2\overrightarrow{O{N}_3},$

$\overrightarrow{O{M}_3}+\overrightarrow{O{M}_4}=2\overrightarrow{O{N}_1},$

$\overrightarrow{O{M}_4}+\overrightarrow{O{M}_5}=2\overrightarrow{O{N}_2},$

$\overrightarrow{O{M}_5}+\overrightarrow{O{M}_6}=2\overrightarrow{O{N}_3}.$

Сложим первое, третье и пятое из этих шести равенств и вычтем их них второе, четвёртое и шестое, получим

$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{O{M}_6}=\mathrm{𝟎},$ то есть $\overrightarrow{M_{6}M}=\mathrm{𝟎},$

другими словами, точки $M$ и $M_6$ совпадаютШаблон:Sfn.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H