Матрица Паскаля

Материал из testwiki
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике, особенно в теории матриц и комбинаторике, ма́трица Паска́ля — это бесконечная матрица, элементами которой являются биномиальные коэффициенты. Существует три варианта расположения элементов в матрице: в виде верхнетреугольной, нижнетреугольной или симметричной матрицы. 5×5-ограничения таких матриц имеют вид:

Верхнетреугольная матрица:

U5=(1111101234001360001400001);

нижнетреугольная матрица

L5=(1000011000121001331014641);

симметричная матрица

S5=(111111234513610151410203515153570).

Эти матрицы удовлетворяют соотношению Sn = LnUn. Отсюда легко видеть, что все три матрицы имеют единичный определитель, так как определитель треугольных матриц Ln и Un равен произведению их диагональных элементов. Другими словами, матрицы Sn, Ln, и Un унимодулярны. След матриц Ln и Un равен n.

Элементы симметричной матрицы Паскаля имеют вид:

Sij=(nr)=n!r!(n−r)!,n=i+j,r=i.

Эквивалентно:

Sij=Ci+ji=(i+j)!(i)!(j)!.

Таким образом, след матрицы Sn равен

tr(Sn)=∑i=1n[2(i−1)]![(i−1)!]2=∑k=0n−1(2k)!(k!)2

в зависимости от n образуя последовательность: 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, … Шаблон:OEIS.

Построение

Матрица Паскаля может быть построена посредством взятия экспоненты от поддиагональной или наддиагональной матрицей специального вида. В следующем примере строятся матрицы 7×7, но этот метод работает для любых n×n-матриц Паскаля. (Точками обозначены нулевые элементы.)

L7=exp⁡([.......1.......2.......3.......4.......5.......6.])=[1......11.....121....1331...14641..15101051.1615201561];U7=exp⁡([.1.......2.......3.......4.......5.......6.......])=[1111111.123456..1361015...141020....1515.....16......1];∴S7=exp⁡([.......1.......2.......3.......4.......5.......6.])exp⁡([.1.......2.......3.......4.......5.......6.......])=[111111112345671361015212814102035568415153570126210162156126252462172884210462924].

Важно отметить, что нельзя просто положить exp(A)exp(B) = exp(A + B) для n×n-матриц A и B, такое равенство имеет место только при AB = BA (то есть когда матрицы A и B коммутируют). В приведённом построении симметричных матриц Паскаля наддиагональные и поддиагональные матрицы не коммутируют. Таким образом, нельзя провести (возможно) ожидаемое упрощение, включающее сумму матриц.

Полезное свойство поддиагональных и наддиагональных матриц, используемое в данном построении - это их нильпотеность, то есть при возведении в достаточно большую целую степень они вырождаются в нулевую матрицу. (Смотри матрица сдвига для дальнейших деталей.) Так как обобщённые n×n-матрицы сдвига, которые тут используются, становятся равными нулю при возведении в степень n, то при вычислении матричной экспоненты необходимо рассматривать только первый n + 1 член бесконечного ряда, чтобы получить точный результат.

Варианты

Интересные варианты могут быть получены посредством очевидных модификаций матриц PL7, от которых берётся экспонента.

Первый пример ниже использует квадраты значений в PL7 вместо исходных и приводит к построению 7×7-матрицы Лагерра (матрицы, элементами которой являются полиномы Лагерра).

LAG7=exp⁡([.......1.......4.......9.......16.......25.......36.])=[1......11.....241....61891...249672161..120600600200251.720432054002400450361];

(Матрица Лагерра на самом деле использует другое масштабирование и знаки некоторых коэффициентов.)

Второй пример использует v(v + 1) в качестве элементов, если v— элементы исходной матрицы. Он приводит к построению 7×7-матрицы Лаха (матрицы с элементами в виде чисел Лаха).

LAH7=exp⁡([.......2.......6.......12.......20.......30.......42.])=[1.......21......661.....2436121....120240120201...72018001200300301..504015120126004200630421.4032014112014112058800117601176561];

Использование v(v − 1) приводит к диагональному сдвигу вниз-вправо.

Третий пример использует квадрат исходной PL7-матрицы, делённый на 2, другими словами: биномиальные коэффициенты первого порядка Ck2 на второй поддиагонали и приводит к построению матрицы, которая возникает в связи с производными и интегралами от гауссовской функции ошибок:

GS7=exp⁡([..............1.......3.......6.......10.......15..])=[1.......1.....1.1.....3.1...3.6.1...15.10.1.15.45.15.1];

Если обратить эту матрицу (например, снова беря экспоненту, но с другим знаком), то знаки коэффициентов меняются и дают коэффициенты производных гауссовской функции ошибок.

Другой вариант может быть получен при расширении исходной матрицы на отрицательные числа:

exp⁡([............−5............−4............−3............−2............−1............0............1............2............3............4............5.])=[1...........−51..........10−41.........−106−31........5−43−21.......−11−11−11...........01...........11..........121.........1331........14641.......15101051].


См. также

Литература

Ссылки

Источник — https://ru.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Матрица_Паскаля&oldid=12961