Метод медленно меняющихся амплитуд

Метод медленно меняющихся амплитуд (МММА, иногда метод Ван-дер-Поля) применяется для приближенного решения нелинейных уравнений, близких к линейным, а колебания близки к гармоническим. Метод основан на допущении, что амплитуда (огибающая) волны меняется медленно во времени и пространстве по сравнению с периодом волны.

Метод применяется, например, в радиофизике, нелинейной оптике.

Пример

Рассмотрим уравнение электромагнитной волны:

${\mathrm{\nabla }}^{2}E-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^{2}E}{\partial t^2}=0,$

где k₀ и ω₀ волновой вектор и угловая частота волны E(r,t), и используем следующее представление:

$E(𝐫,t)=\mathrm{\Re }[E_0(𝐫,t)e^{i({𝐤}_0\cdot 𝐫-{\omega }_{0}t)}],$

где $\mathrm{\Re }[\cdot ]$ обозначает вещественную часть.

В приближении медленно меняющейся амплитуды предполагается, что комплексная амплитуда E₀(r, t) меняется медленно в зависимости от r и t. Это также предполагает, что E₀(r, t) представляет волну, распространяющуюся вперед в направлении k₀. В результате медленного изменения E₀(r, t), производными высокого порядка можно пренебречь:

$\left|{\mathrm{\nabla }}^2{E}_0\right|\ll |{\overrightarrow{k}}_0\cdot \mathrm{\nabla }{E}_0|$ Шаблон:Pad и Шаблон:Pad $\left|\frac{{\partial }^2{E}_0}{\partial t^2}\right|\ll \left|{\omega }_0\frac{\partial E_0}{\partial t}\right|,$ Шаблон:Pad , Шаблон:Pad$k_0=|{𝐤}_0|.$

После применения приближения и обнуления высших производных волновое уравнение запишется как :

$2i{𝐤}_0\cdot \mathrm{\nabla }{E}_0+2i{\omega }_0{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial E_0}{\partial t}-(k_0^2-{\omega }_0^2{\mu }_0{\epsilon }_0)E_0=0.$

С учетом того, что k₀ и ω₀ удовлетворяют дисперсионному соотношению:

$k_0^2-{\omega }_0^2{\mu }_0{\epsilon }_0=0.$

получаем:

${𝐤}_0\cdot \mathrm{\nabla }{E}_0+{\omega }_0{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial E_0}{\partial t}=0.$

Это гиперболическое уравнение, как и исходное волновое уравнение, но теперь первого, а не второго порядка. Оно верно для когерентных распространяющихся в близких к направлению k₀ волн. Часто такое уравнение решить значительно проще, чем исходное.

Параболическое приближение

Рассмотрим распространение вдоль направления z, то есть k₀||z.Тогда метод применяется только к производным по координате z и по времени. Если ${\mathrm{\Delta }}_{\perp }={\partial }^2/\partial x^2+{\partial }^2/\partial y^2$ — оператор Лапласа в плоскости x-y, получим в результате:

$k_0\frac{\partial E_0}{\partial z}+{\omega }_0{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial E_0}{\partial t}-\frac{1}{2}i{\mathrm{\Delta }}_{\perp }{E}_0=0.$

Это параболическое уравнение, поэтому приближение называется также параболическим приближением.

См. также

• Гауссов пучок
• Квазиклассическое приближение