Пентагональный гексеконтаэдр

Пентагона́льный гексеконта́эдр (от Шаблон:Lang-grc — «пять», Шаблон:Lang-grc2 — «угол», Шаблон:Lang-grc2 — «шестьдесят» и Шаблон:Lang-grc2 — «грань») — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный курносому додекаэдру. Составлен из 60 одинаковых неправильных пятиугольников.

Имеет 92 вершины. В 12 вершинах (расположенных так же, как вершины икосаэдра) сходятся по 5 граней своими острыми углами; в 20 вершинах (расположенных так же, как вершины додекаэдра) сходятся по 3 грани теми тупыми углами, которые дальше от острого; в остальных 60 вершинах две грани сходятся своими тупыми углами, ближними к острому, и одна — тупым углом, дальним от острого.

• 
  12 вершин расположены так же, как вершины икосаэдра
• 
  20 вершин расположены так же, как вершины додекаэдра

У пентагонального гексеконтаэдра 150 рёбер — 60 «длинных» и 90 «коротких».

В отличие от большинства других каталановых тел, пентагональный гексеконтаэдр (наряду с пентагональным икоситетраэдром) является хиральным и существует в двух разных зеркально-симметричных (энантиоморфных) вариантах — «правом» и «левом».

Метрические характеристики и углы

При определении метрических свойств пентагонального гексеконтаэдра приходится решать кубические уравнения и пользоваться кубическими корнями — тогда как для ахиральных каталановых тел не требуется ничего сложнее квадратных уравнений и квадратных корней. Поэтому пентагональный гексеконтаэдр, в отличие от большинства других каталановых тел, не допускает евклидова построения. То же верно и для пентагонального икоситетраэдра, а также для двойственных им архимедовых тел.

В формулах ниже константа $\xi$ — единственный вещественный корень уравнения

$8x^3+8x^2={\mathrm{\Phi }}^2,$

где $\mathrm{\Phi }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ — отношение золотого сечения; этот корень равен

$\xi =\frac{1}{12}(\sqrt[3]{44+12\mathrm{\Phi }(9+\sqrt{81\mathrm{\Phi }-15})}+\sqrt[3]{44+12\mathrm{\Phi }(9-\sqrt{81\mathrm{\Phi }-15})}-4)\approx 0,4715756.$

Грань пентагонального гексеконтаэдра

Если три «коротких» стороны грани имеют длину $b$, то две «длинных» стороны имеют длину

$a=\frac{1+2\xi }{2(1-2{\xi }^2)}b\approx 1,7498526b.$

Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как

$S=\frac{30(2+3\xi )\sqrt{1-{\xi }^2}}{1-2{\xi }^2}{b}^2\approx 162,6989642b^2,$

$V=\frac{5(1+\xi )(2+3\xi )}{(1-2{\xi }^2)\sqrt{1-2\xi }}{b}^3\approx 189,7898521b^3.$

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

$r=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1+\xi }{(1-\xi )(1-2\xi )}}b\approx 3,4995278b,$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

$\rho =\sqrt{\frac{1+\xi }{2(1-2\xi )}}b\approx 3,5976248b,$

радиус окружности, вписанной в грань —

$r_{\mathrm{\Gamma }\mathrm{P}}=\sqrt{{\rho }^2-r^2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1+\xi }{1-\xi }}b\approx 0,8343915b,$

диагональ грани, параллельная одной из «коротких» сторон —

$e=(1+2\xi )b\approx 1,9431513b.$

Описать около пентагонального гексеконтаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Все четыре тупых угла грани равны $\arccos (-\xi )\approx 118,14^{\circ };$ острый угол грани (между «длинными» сторонами) равен $\arccos (8{\xi }^2-8{\xi }^4-1)\approx 67,45^{\circ }.$

Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен $\arccos \frac{\xi }{\xi -1}\approx 153,18^{\circ }.$

Ссылки

• Шаблон:Mathworld