Пентагональный икоситетраэдр

Пентагона́льный икоситетра́эдр (от Шаблон:Lang-grc — «пять», Шаблон:Lang-grc2 — «угол», Шаблон:Lang-grc2 — «двадцать», Шаблон:Lang-grc2 — «четыре» и Шаблон:Lang-grc2 — «грань») — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный курносому кубу. Составлен из 24 одинаковых неправильных пятиугольников.

Имеет 38 вершин. В 6 вершинах (расположенных так же, как вершины октаэдра) сходятся по 4 грани своими острыми углами; в 8 вершинах (расположенных так же, как вершины куба) сходятся по 3 грани теми тупыми углами, которые дальше от острого; в остальных 24 вершинах две грани сходятся своими тупыми углами, ближними к острому, и одна — тупым углом, дальним от острого.

• 
  6 вершин расположены так же, как вершины октаэдра
• 
  8 вершин расположены так же, как вершины куба

У пентагонального икоситетраэдра 60 рёбер — 24 «длинных» и 36 «коротких».

В отличие от большинства других каталановых тел, пентагональный икоситетраэдр (наряду с пентагональным гексеконтаэдром) является хиральным и существует в двух разных зеркально-симметричных (энантиоморфных) вариантах — «правом» и «левом».

Метрические характеристики и углы

При определении метрических свойств пентагонального икоситетраэдра приходится решать кубические уравнения и пользоваться кубическими корнями — тогда как для ахиральных каталановых тел не требуется ничего сложнее квадратных уравнений и квадратных корней. Поэтому пентагональный икоситетраэдр, в отличие от большинства других каталановых тел, не допускает евклидова построения. То же верно и для пентагонального гексеконтаэдра, а также для двойственных им архимедовых тел.

Как и для курносого куба, при описании метрических свойств и углов пентагонального икоситетраэдра важную роль играет константа трибоначчи:

$t=\frac{1}{3}(1+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}})\approx 1,8392868.$

Грань пентагонального икоситетраэдра

Если три «коротких» стороны грани имеют длину $b$, то две «длинных» стороны имеют длину

$a=\frac{t+1}{2}b\approx 1,4196434b.$

Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как

$S=3(t+1)\sqrt{\frac{22(5t-1)}{4t-3}}{b}^2\approx 54,7965494b^2,$

$V=\frac{t(3t+1)}{(t-1)\sqrt{2-t}}{b}^3\approx 35,6302020b^3.$

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

$r=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{t+1}{(3-t)(2-t)}}b\approx 1,9506813b,$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

$\rho =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{t+1}{2-t}}b\approx 2,1015939b,$

радиус окружности, вписанной в грань —

$r_{\mathrm{\Gamma }\mathrm{P}}=\sqrt{{\rho }^2-r^2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{t+1}{3-t}}b\approx 0,7820097b,$

диагональ грани, параллельная одной из «коротких» сторон —

$e=tb\approx 1,8392868b.$

Описать около пентагонального икоситетраэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Все четыре тупых угла грани равны $\arccos \frac{1-t}{2}\approx 114,81^{\circ };$ острый угол грани (между «длинными» сторонами) равен $\arccos (2-t)\approx 80,75^{\circ }.$

Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен $\arccos \frac{t-1}{t-3}\approx 136,31^{\circ }.$

Ссылки

• Шаблон:Mathworld