Пентатопное число

Пентато́пные чи́сла, называемые также гипертетраэдральными — это фигурные числа, представляющие правильные четырёхмерные симплексы (пентатопы или гипертетраэдры). Пентатопные числа являются четырёхмерным обобщением плоских треугольных и пространственных тетраэдральных чисел.

Определение и общая формула

$n$ -е по порядку пентатопное число определяется как сумма первых $n$ тетраэдральных чисел.

Начало последовательности пентатопных чисел:

1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, \dots

Общая формула для $n$ -го по порядку пентатопного числа $P T_{n}$ :

P T_{n} = \frac{n (n + 1) (n + 2) (n + 3)}{24} = (\binom{n + 3}{4})

Пентатопные числа находятся на 5-й диагональной линии в треугольнике Паскаля (см. рисунок), под диагональю тетраэдральных чисел.

Два из каждых трёх пентатопных чисел (номера которых не делятся на 3) являются пятиугольными числами Шаблон:Sfn.

Ряд из обратных пентатопных чисел сходится^[1]:

\frac{1}{1} + \frac{1}{5} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} \dots = \frac{4}{3}

В биохимии пентатопные числа представляют количество возможных расположений $n$ различных белковых субъединиц в Шаблон:Нп5.