Периодическая последовательность

Периодическая последовательность — это последовательность, элементы $a_1,a_2,\dots ,a_p$ которой начинают повторяются в том же порядке после достижения некоторого $p$, то есть:

$a_1,a_2,\dots ,a_p,a_1,a_2,\dots ,a_p,a_1,a_2,\dots ,a_p,\dots$

Число $p$ повторяющихся элементов называется периодомШаблон:R.

Определение

Периодическая последовательность (с периодом $p$), или $p$-периодическая последовательность, — это последовательность $a_1,a_2,a_3,\dots$, удовлетворяющая соотношению $a_{n+p}=a_n$ для всех значений $n$Шаблон:RШаблон:RШаблон:RШаблон:SfnШаблон:Sfn. Если последовательность рассматривается как функция, областью определения которой является множество натуральных чисел, то периодическая последовательность — это просто специальный вид периодической функции. Наименьшее $p$, для которого периодическая последовательность $p$-периодична, называется её наименьшим периодомШаблон:RШаблон:R.

Примеры

Любая постоянная функция 1-периодичнаШаблон:Sfn.

Последовательность $1,2,1,2,1,2,\dots$ периодична с наименьшим периодом 2Шаблон:R.

Последовательность цифр в десятичном представлении 1/7 является периодической последовательностью с периодом 6:

$\frac{1}{7}=0,(142857)$

Вообще, последовательность цифр в десятичном представлении любого рационального числа является, в конечном счёте, периодической (см. ниже)Шаблон:R.

Последовательность степеней −1 периодична с периодом два:

$-1,1,-1,1,-1,1,\dots$

Последовательность степеней любого корня из единицы периодична. То же выполняется для степеней любого элемента конечного порядка в группе.

Периодическая точка для функции $f:X\to X$ — это точка $x$, Шаблон:Нп5 которой

$x,f(x),f(f(x)),f^3(x),f^4(x),\dots$

является периодической последовательностью. Здесь $f^n(x)$ означает $n$-кратную композицию функции $f$, применённую к $x$Шаблон:R. Периодические точки играют важную роль в теории динамических систем. Любая функция из конечного множества имеет периодическую точку. Нахождение цикла для поиска такой точки является алгоритмической задачей.

Тождества

Частичные суммы

$\sum _{n=1}^{kp+m}{a}_n=k\cdot \sum _{n=1}^p{a}_n+\sum _{n=1}^m{a}_n$, где $k$ и $m<p$ являются натуральными числами.

Частичные произведения

$\prod _{n=1}^{kp+m}{a}_n=(\prod _{n=1}^p{a}_n{)}^k\cdot \prod _{n=1}^m{a}_n$, где $k$ и $m<p$ являются натуральными числами.

Периодические 0, 1 последовательности

Любую периодическую последовательность можно построить поэлементным сложением, вычитанием, умножением и делением периодических последовательностей, состоящих из нулей и единиц. Периодические последовательности из нулей и единиц можно выразить через суммы тригонометрических функций:

$\sum _{k=1}^1\cos (2\pi \frac{n(k-1)}{1})/1=1,1,1,1,1,1,1,1,1,\dots ;$

$\sum _{k=1}^2\cos (2\pi \frac{n(k-1)}{2})/2=0,1,0,1,0,1,0,1,0,\dots ;$

$\sum _{k=1}^3\cos (2\pi \frac{n(k-1)}{3})/3=0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,\dots ;$

$\dots$

$\sum _{k=1}^N\cos (2\pi \frac{n(k-1)}{N})/N=0,0,0,\dots 0,1,\dots$ — последовательность с периодом $N$.

Обобщения

Последовательность в конечном итоге периодическая. Если её можно сделать периодической путём отбрасывания некоторого конечного набора членов с начала. Например, последовательность цифр в десятичном представлении числа $1/56$ в конечном итоге периодична:

$\frac{1}{56}=0,017(857142)$

Последовательность $x_1,x_2,x_3,\dots$асимптотически периодична, если существует периодическая последовательность $a_1,a_2,a_3,\dots$, для которой

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n-a_n=0.$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn

Например, последовательность

$\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{5},\frac{4}{5},\dots$

асимптотически периодична, поскольку её члены стремятся к периодической последовательности $0,1,0,1,0,1,\dots$

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья