Поверхностные акустические волны в пьезоэлектриках

Файл:SAW device2.png

Генерация ПАВ с помощью встречно-гребенчатого преобразователя. Справа — приёмные дорожки снимают сигнал, при этом происходит обратное преобразование механической энергии в переменный электрический ток, через нагрузочный резистор.

Поверхностные акустические волны в пьезоэлектриках — упругие волны распространяющиеся около поверхности пьезоэлектрика (релеевские волны) или в тонких пьезоэлектрических плёнках (лэмбовские волны наблюдаются, когда толщина подложки сравнима с длиной волны), сопровождающиеся модуляцией электрического поля для пьезоэлектрически активных направлений. Движение частиц среды при обоих типах волн эллиптическое. Амплитуда релеевских волн спадает при удалении от поверхности и её можно рассматривать как затухающую волну. Метод генерации ПАВ в пьезоэлектриках с помощью встречно-гребёнчатого преобразователя предложен в 1965 году, что позволило найти широкое применение в обработке высокочастотных сигналов, линиях задержки, сенсорах и, в последнее время, для манипулирования частицами в микроканалах.

Теоретические основания

В линейной среде акустические волны полностью характеризуются уравнениями для смещений частиц U_i и потенциалом φ: Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF где T_ij, S_ij — тензоры напряжений и деформаций; E, D — векторы напряженности и индукции электрического поля; C_ijkl, e_ijk, ε_ij — тензоры модулей упругости (этот тензор симметричен по последней паре индексовШаблон:Sfn), пьезомодулей и диэлектрической проницаемости соответственно; ρ — плотность среды. По повторяющимся индексам производится суммирование. Тензор модулей упругости задан при постоянном электрическом поле, а тензор диэлектрической проницаемости при постоянной деформации. Если пьезоэлектрик не содержит свободных зарядов, то его можно считать диэлектриком и для него выполняется закон Гаусса для индукции электрического поля: Шаблон:EF Собственные полупроводники при достаточно низкой температуре удовлетворяют этому условию. Из вышеприведённой системы уравнений можно получить уравнения для акустических волн в пьезоэлектрике Шаблон:EF Шаблон:EF Данные уравнения с граничными условиями полностью определяют задачу. При отсутствии пьезоэффекта решения уравнения (Шаблон:Eqref) представляют собой упругие волны в анизотропной линейной среде.

Парциальные волны

Ищем решение уравнений (Шаблон:Eqref) и (Шаблон:Eqref) в виде плоских волн распространяющихся в направлении x₁ и затухающие в направлении x₃: Шаблон:EF Шаблон:EF Подставляя эти решения в волновые уравнения получим систему уравнений на амплитуды Шаблон:EF где элементы выражаются как Шаблон:EF Чтобы нетривиальное решение уравнений существовало, нужно чтобы детерминант системы (Шаблон:Eqref) был равен нулю. Это условие задаёт уравнение 8-й степени относительно b. Выбирая только решения в нижней комплексной мы найдём полное решение волновых уравнений: Шаблон:EF Шаблон:EF где неизвестные коэффициенты C_m находятся из граничных условий заданных на поверхности пьезоэлектрика: условия ненагруженной поверхности T₃₃=T₃₁=T₃₂=0 и непрерывности нормальной компоненты вектора электрической индукции D₃. Для граничных условий (показан m-ый столбец) получим систему уравнений: Шаблон:EF Из равенства детерминанта системы нулю находят фазовую скорость волныШаблон:Sfn.

Симметрия кристаллов

Используя нотацию Фойгта тензор модулей упругости можно переписать в виде симметричной матрицы 6×6, которая имеет в общем случае 21 линейно независимую компонентуШаблон:Sfn. Для кристаллов кубической симметрии (кремний, арсенид галлия), где координатная система совпадает с осями кристаллической решётки есть только три независимые компонентыШаблон:Sfn:

$\left(\begin{array}{cccccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{12}& 0& 0& 0\\ c_{12}& c_{11}& c_{12}& 0& 0& 0\\ c_{12}& c_{12}& c_{11}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& c_{44}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& c_{44}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& c_{44}\end{array}\right)$

Для кристаллов гексогональной симметрии (сульфид кадмия, окись цинка), где ось x₃ совпадает с осью Z кристалла существует пять независимых компонентШаблон:Sfn:

$\left(\begin{array}{cccccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}& 0& 0& 0\\ c_{12}& c_{11}& c_{13}& 0& 0& 0\\ c_{13}& c_{13}& c_{33}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& c_{44}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& c_{44}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1/2(c_{11}-c_{12})\end{array}\right)$

Для кристаллов тригональной симметрии (классы 32, 3m, $\bar{3}m$), выделяют шесть независимых компонентШаблон:Sfn:

$\left(\begin{array}{cccccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}& c_{14}& 0& 0\\ c_{12}& c_{11}& c_{13}& c_{14}& 0& 0\\ c_{13}& c_{13}& c_{33}& 0& 0& 0\\ c_{14}& c_{14}& 0& c_{44}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& c_{44}& c_{14}\\ 0& 0& 0& 0& c_{14}& 1/2(c_{11}-c_{12})\end{array}\right)$

К этому классу относятся важные пьезоэлектрики такие как кварц, ниобат лития.

Тензор пьезоэлектрических постоянных в нотации Фойгта (последняя пара индексов заменяется) для кубической сингонии (классы 23 и $4\bar{3}m$) имеют одну независимую компонентуШаблон:Sfn

$\left(\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& e_{14}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& e_{14}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& e_{14}\end{array}\right)$

Для кристаллов с гексогональной симметрией (точечная группа 6mm, поляризованная керамика по оси x₃) — три компоненты:

$\left(\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& e_{15}& 0\\ 0& 0& 0& e_{15}& 0& 0\\ e_{31}& e_{31}& e_{33}& 0& 0& 0\end{array}\right)$

Для точечной группы 32 (тригональная сингония) две компоненты:

$\left(\begin{array}{cccccc}{e}_{11}& -e_{11}& 0& e_{14}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& -e_{14}& -e_{11}\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

а для точечной группы 3m — четыреШаблон:Sfn:

$\left(\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& e_{15}& -e_{22}\\ -e_{22}& e_{22}& 0& e_{15}& 0& 0\\ e_{31}& e_{31}& e_{33}& 0& 0& 0\end{array}\right)$

Тензор диэлектрических постоянных также зависит от направления в кристалле для групп 3m, 32, 6mm, $\bar{3}m$ и ε₃₃≠ε₁₁=ε₂₂. Для классов 23, $4\bar{3}m$, m3m: ε₃₃=ε₁₁=ε₂₂.

Взаимодействие ПАВ в пьезоэлектрике с ДЭГ

Рассмотрим простейший одномерный случай и, отбрасывая индексы, перепишем систему уравнений (Шаблон:Eqref) в виде: Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Эта систему уравнений приводит к волновому уравнению для сдвига Шаблон:EF В случае если пьезоэлектрик окажется хорошим проводником, то продольные звуковые волны (скорость $v_0=\sqrt{c/\rho }$) не будут пьезоэлектрическими, а если — диэлектриком, то скорость волны станет $v=\sqrt{(1+e^2/c\epsilon )c/\rho }$. Коэффициент $K^2=e^2/c\epsilon$ называется коэффициент электромеханической связи и принимает значения меньше 0,05 (для поверхности (100) GaAs в направлении [011] K²_eff=6.4×10⁻⁴). Если в GaAs сформирован ДЭГ с проводимостью σ, то электрическое поле акустической волны приводит к потерям энергии из-за омических потерь. Коэффициент затухания Γ и изменение скорости пьезоакустической волны с частотой ω равны соответственно: Шаблон:EF Шаблон:EF где λ — длина волны, σ_M=v₀(1+ε). Здесь расстояние до ДЭГ от поверхности много меньше длины волны. В более общем случае изменение скорости и затухание связаны соотношением: Шаблон:EF где v_s — скорость акустической волны для идеального проводника, q — волновой вектор, а коэффициенты α и σ_M зависят от материальных параметров. Отсюда видно, что взаимодействие ПАВ с ДЭГ зависит от продольной компоненты терзора проводимости, определяя бесконтактный метод его измерения.

Из-за наличия затухания часть импульса волны передаётся ДЭГ, приводя к возникновению акустоэлектрического тока (если цепь замкнута). Связь затухания и фазового сдвига с проводимостью благодаря взаимодействию ПАВ в пьезоэлектрике с ДЭГ изучалась в присутствии перпердикулярного магнитного поля в режиме целочисленного квантового эффекта Холла и дробного квантового эффекта Холла

Усиление ПАВ в полупроводниках с пьезоэлектрическими свойствами

Система уравнений для одномерного случая (Шаблон:Eqref) в полупроводниках n-типа с пьезоэлектрическими свойствами следует дополнить уравнениями для полного тока (включает дрейфовую и диффузионную части) Шаблон:EF уравнением непрерывности Шаблон:EF и теоремой Гаусса Шаблон:EF Здесь μ — подвижность, q — элементарный заряд, D_n — коэффициент диффузии, концентрация электронов n_c состоит из постоянной части n₀ и меняющейся во времени вклада n_s из-за действия электрического поля акустической волны. Помимо переменного электрического поля E₁e^jkx-jωt действует постоянное поле E₀.

Коэффициент затухания в этом случае равен Шаблон:EF где ${\omega }_c=\sigma /\epsilon$, ${\omega }_D=v_0^2/D$, $\gamma =1-\mu E_0/v_0=1-v_d/v_0$. Если дрейфовая скорость v_d электронов больше скорости волны то γ меняет знак и, соответственно, вместо затухания происходит усиление поверхностной акустической волны.

Адиабатический транспорт в одномерных каналах

Взаимодействие ПАВ в пьезоэлектрике с ДЭГ можно распространить на одномерные каналы, а именно сформированные с помощью латеральных затворов на поверхности GaAs. Бегущая ПАВ благодаря электрическому полю может создавать движущуюся потенциальную яму для отдельного электрона (которую можно представить как квантовую точку) в перекрытом одномерном канале, то есть индуцировать проводимость. Благодаря кулоновской блокаде за один период переносится один электрон, и результирующий ток определяется только частотой сигнала f и зарядом электрона:

$I=fe.$

Такая простая формула открывает возможность использовать транспорт в квази-одномерных каналах в качестве эталона силы тока.

Применение

Датчики на поверхностных акустических волнах, линии задержки.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга