Порядок Брюа

Порядок Брюа на группе $S^4$

Порядок Брюа (сильный порядок, сильный порядок Брюа, порядок Шевалле, порядок Брюа — Шевалле) — частичный порядок на элементах группы Коксетера, который соответствует порядку включения на Шаблон:Iw.

Впервые исследован Шарлем Эресманном в 1934 годуШаблон:Sfn на многообразиях Шуберта Шаблон:Iw или грасманианов, а аналогичную конструкцию для более общего случая полупростых алгебраических групп изучил Клод Шевалле в 1958 годуШаблон:Sfn. В 1968 году Шаблон:Iw применил комбинаторные методы для исследования порядка Брюа на группах Вейля, и он же ввёл название — «порядок Брюа» в честь французского математика Шаблон:Iw ввиду связи с Шаблон:IwШаблон:Sfn. Левые и правые слабые порядки Брюа изучал Шаблон:IwШаблон:Sfn.

Определение

Если $(W,S)$ — система Коксетера с порождающими элементами $S$, то (сильный, слабый левый, слабый правый) порядок Брюа — это частичный порядок на группе $W$, определяемый для $u,v\in W$ следующим образом:

• $u⩽v$ в (сильном) порядке Брюа, если некоторая подстрока некоторого (любого) приведённого слова для $v$ является приведённым словом для $u$;
• $u{⩽}_{L}v$, то есть $u$ меньше или равно $v$ в слабом левом порядке Брюа, если некоторый постфикс некоторого приведённого слова для $v$ является приведённым словом для $u$;
• $u{⩽}_{R}v$ в слабом правом порядке Брюа, если некоторый префикс некоторого приведённого слова для $v$ является приведённым словом для $u$.

Граф Брюа

Граф Брюа — это ориентированный граф, связанный с сильным порядком Брюа. Множество вершин графа Брюа состоит из элементов группы Коксетера, а ориентированное ребро между вершинами $u$ и $v$ проводится тогда и только тогда, когда $\text{l}(u)<\text{l}(v)$ и существует такое отражение $t$, что $u=tv$. Граф Брюа можно воспринимать как ориентированный граф с помеченными рёбрами, где метки соответствуют отражениям. Аналогичным образом можно определить граф Брюа с умножением на отражение $t$ справа. В таком случае новый граф окажется изоморфен исходному, но метки на его рёбрах будут расставлены иначе.

Сильный порядок Брюа на симметрической группе обладает функцией Мёбиуса, которая определяется равенством $\mu (\pi ,\sigma )=(-1{)}^{\ell (\sigma )-\ell (\pi )}$, а значит соответствующее частично упорядоченное множество является эйлеровым.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья