Приближение почти свободных электронов

Приближение почти свободных электронов — метод в квантовой теории твёрдого тела, в котором периодический потенциал кристаллической решётки считается малым возмущением относительно свободного движения валентных электронов.

Приближение почти свободных электронов предусматривает возникновение узких запрещённых зон в результате брегговской дифракции электронов на периодическом потенциале кристаллической решётки.

Математическая формулировка

Гамильтониан, что описывает движение электрона в потенциальном поле ядер атомов в приближении среднего поля задаётся формулой

$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }+V(𝐫)$,

где $\hslash$ — постоянная Планка, m — масса электрона,$V(𝐫)$ — периодический потенциал, который учитывает взаимодействие электрона с кристаллической решёткой и другими электронами.

Волновую функцию электрона, которая должна удовлетворять теореме Блоха, можно искать в виде разложения в ряд Фурье

${\psi }_{𝐤}=e^{i𝐤\cdot 𝐫}\sum _{𝐆}{a}_{𝐤+𝐆}{e}^{i𝐆\cdot 𝐫}$,

где $𝐤$ — волновой вектор, $𝐆$ — вектор обратной решётки.

Если потенциал $V(𝐫)$ малый по величине по сравнению с кинетической энергией электрона, то движение электронов можно считать почти свободным. Энергия электрона задаётся формулой

$E=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}.$

Эта формула справедлива всюду в зоне Бриллюэна, кроме того случая, когда волновая функция поступательного движения электрона будет интерферировать с волной, рассеянной на периодическом потенциале. Такая ситуация складывается тогда, когда $𝐤\approx 𝐆/2$. В этой области волновых векторов используется приближение, согласно которому амплитуды прямой и рассеянной волны определяются системой уравнений:

$(\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}-E)a_{𝐤}+V_{\mathbf{-}𝐆}{a}_{𝐤-𝐆}=0$,

$(\frac{{\hslash }^2(𝐤-𝐆{)}^2}{2m}-E)a_{𝐤-𝐆}+V_{𝐆}{a}_{𝐤}=0$,

где $V_{𝐆}$ — коэффициенты разложения потенциала в ряд Фурье. Эта система уравнений имеет нетривиальное решение при выполнении условия

$(\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}-E)(\frac{{\hslash }^2(𝐤-𝐆{)}^2}{2m}-E)-V_{𝐆}{V}_{\mathbf{-}𝐆}=0$,

что задаёт закон дисперсии электронных состояний на границе зоны Бриллюэна. Непосредственно на границе ($𝐤\cdot 𝐆={𝐆}^2/2$)

$E=\frac{{\hslash }^2{G}^2}{8m}\pm |V_{𝐆}|$.

В промежутке энергий между $E=\frac{{\hslash }^2{G}^2}{8m}-|V_{𝐆}|$ и $E=\frac{{\hslash }^2{G}^2}{8m}+|V_{𝐆}|$ электронных уровней нет, чем определяется существование узкой запрещённой зоны.

См. также

• Одноэлектронное приближение
• Приближение сильно связанных электронов