Принцип Герца

Принцип Герца, также известный как принцип наименьшей кривизны или принцип прямейшего пути — один из вариационных принципов механики, который гласит, что при отсутствии любых активных сил (потенциальной энергии) из всех кинематически возможных (т.е. допускаемых связями) траекторий действительной будет только та, у которой наименьшая кривизнаШаблон:Sfn. Применялся Герцем для построения механики, в которой действие активных сил заменялось введением соответствующих связей. Впервые предложен в 1894 году.

Принцип Герца часто рассматривается как частный случай гауссовского принципа наименьшего принуждения, частный случай принципа Мопертюи в трактовке Якоби и обобщение закона инерции. Связь с принципом Гаусса обусловлена пропорциональностью принуждения квадрату кривизны. При идеальных связях принцип Герца и принцип Гаусса имеют одинаковое математическое выражение.

Кривой Гаусса-Герца на пути x (t) = x_α (t) в римановом пространстве Rⁿ × l₂, δ_ij + δ^αβ являются минимальные квадраты Лагранжа (сумма серий функций, равномерное схождение)Шаблон:Sfn.

Математическое выражение

В принципе Герца функция Z математически выражается следующим образом:

$Z=\sum _{j=1}^n{\left|{\ddot{𝐫}}_j\right|}^2$

Кинетическая энергия $T$ сохраняется при этих условиях:

$T\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{\left|{\dot{𝐫}}_j\right|}^2$

Поскольку Шаблон:Нп5 $d{s}^2$ в $3N$-мерной системе координат определяется по формуле

$d{s}^2\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _{j=1}^n{\left|d{𝐫}_j\right|}^2$,

то закон сохранения энергии может также иметь форму

${\left(\frac{ds}{dt}\right)}^2=2T$

При делении $Z$ на $2T$ появляется ещё один минимум:

$K\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _{j=1}^n{\left|\frac{d^2{𝐫}_j}{d{s}^2}\right|}^2$

Поскольку $\sqrt{K}$ — локальная кривизна траектории в $3n$-мерной системе координат, минимизация $K$ равноценна поиску траектории с минимальной кривизной (геодезической).

Литература

• Шаблон:БСЭ3
• Шаблон:БРЭ
• Hertz, H. (1896). Principles of Mechanics. Miscellaneous Papers. III. Macmillan.
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья