Производная Пинкерле

В математике, производная Пинкерле T’ линейного оператора T:K[x] → K[x] на векторном пространстве многочленов от переменной x над полем K это коммутатор оператора T с умножением на x в алгебре эндоморфизмов End(K[x]). T.e. T’ является ещё одним линейным оператором T’:K[x] → K[x]

$T^{\prime }:=[T,x]=Tx-xT=-\mathrm{ad}(x)T.$

Более подробно, на многочлене $p(x)$ этот оператор действует следующим образом:

$T^{\prime }\{p(x)\}=T\{xp(x)\}-xT\{p(x)\}\mathrm{\forall }p(x)\in 𝕂[x].$

Названа в честь итальянского математика Сальваторе Пинкерле.

Свойства

Производная Пинкерле, как и любой коммутатор, является дифференцированием, удовлетворяющим правилу произведения и суммы: для любых линейных оператора $S$ и $T$, принадлежащих $\mathrm{End}(𝕂[x])$, выполняется

1. $(T+S{)}^{\prime }=T^{\prime }+S^{\prime }$ ;
2. $(TS{)}^{\prime }=T^{\prime }S+T{S}^{\prime }$ где $TS=T\circ S$ является композицией операторов ;

Также $[T,S{]}^{\prime }=[T^{\prime },S]+[T,S^{\prime }],$ где $[T,S]=TS-ST$ — обычная скобка Ли, что следует из тождества Якоби.

Обычная производная, D = d/dx, является оператором на многочленах. Прямое вычисление показывает, что её производная Пинкерле равна

$D^{\prime }=\left(\frac{d}{dx}\right)={\mathrm{Id}}_{𝕂[x]}=1.$

По индукции, эта формула обобщается до

$(D^n{)}^{\prime }=\left(\frac{d^n}{d{x}^n}\right)=n{D}^{n-1}.$

Это доказывает, что производная Пинкерле дифференциального оператора

$\partial =\sum a_n\frac{d^n}{d{x}^n}=\sum a_n{D}^n$

также является дифференциальным оператором, так что производная Пинкерле есть дифференцирование $\mathrm{Diff}(𝕂[x])$.

Оператор сдвига

$S_h(f)(x)=f(x+h)$

может быть записан

$S_h=\sum _{n=0}\frac{h^n}{n!}{D}^n$

с помощью формулы Тейлора. Тогда его производная Пинкерле равняется

${S_h}^{\prime }=\sum _{n=1}\frac{h^n}{(n-1)!}{D}^{n-1}=h\cdot S_h.$

Другими словами, операторы сдвига есть собственные векторы производной Пинкерле, чей спектр есть все пространство скаляров $𝕂$.

Если T инвариантен к сдвигу, то есть если T коммутирует с S_h или $[T,S_h]=0$, мы также имеем: $[T^{\prime },S_h]=0$, так что $T^{\prime }$ также является инвариантным к тому же сдвигу $h$.

Шаблон:Не переведено 5 дискретного времени

$(\delta f)(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

это оператор

$\delta =\frac{1}{h}(S_h-1),$

чья производная Пинкерле — оператор сдвига ${\delta }^{\prime }=S_h$.

См. также

• Коммутатор операторов

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Pincherle Derivative. MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Biography of Salvatore Pincherle на MacTutor History of Mathematics archive.