Производная обратной функции

Пусть $y=f(x)$ — функция от аргумента $x$ в некотором интервале $(a,b)$. Если в уравнении $y=f(x)$ $y$ считать аргументом, а $x$ — функцией, то возникает новая функция $x=\varphi (y),$ где $f[\varphi (y)]\equiv y,$ — функция, обратная данной.

Теорема (о дифференцировании обратной функции)

Для дифференцируемой функции $y(x)$ с производной $y{\text{'}}_x(x)$, отличной от нуля, производная $x{\text{'}}_y(y)$ обратной функции $x(y)$ равна обратной величине производной данной функции в точке $x(y)$, то есть

$x{\text{'}}_y(y)=\frac{1}{y{\text{'}}_x(x(y))}$

Примеры

• $y=\arcsin x\Rightarrow x=\sin y,$

$y{\text{'}}_x=(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{x{\text{'}}_y}=\frac{1}{(\sin y{)}^{\prime }}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^2(\arcsin x)}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$

• $y=\ln x\Rightarrow x=e^y,$

$y{\text{'}}_x=(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x{\text{'}}_y}=\frac{1}{(e^y{)}^{\prime }}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x}.$

См. также

• Производная функции
• Таблица производных
• Дифференцирование сложной функции
• Дифференцируемая функция
• Основная теорема анализа
• Геометрический смысл производной
• Частная производная

Литература

• В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович «Краткий курс высшей математики», ISBN 5-02-013927-0