Пространство Бесова

Пространства Бесова $B_{p,q}^s(ℝ)$ — полные Шаблон:Нп5 пространства функций, являющиеся банаховыми при Шаблон:Math. Названы в честь разработчика — советского математика Олега Владимировича Бесова. Эти пространства, наравне с определяемыми похожим образом пространствами Трибеля — Лизоркина, являются обобщением более простых функциональных пространств и применяются для определения свойств регулярности функций.

Определение

Существует несколько эквивалентных определений, тут приводится одно из них.

Пусть

${\mathrm{\Delta }}_{h}f(x)=f(x+h)-f(x)$

и модуль непрерывности определён как

${\omega }_p^2(f,t)=\underset{|h|\le t}{\sup }{\Vert {\mathrm{\Delta }}_h^{2}f\Vert }_p.$

Пусть Шаблон:Mvar будет неотрицательным целым числом, а Шаблон:Math с Шаблон:Math. Пространство Бесова $B_{p,q}^s(ℝ)$ состоит из функций Шаблон:Mvar таких, что

$f\in W^{n,p}(ℝ),\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\left|\frac{{\omega }_p^2(f^{(n)},t)}{t^{\alpha }}\right|}^q\frac{dt}{t}<\mathrm{\infty },$

где ${\overline{W}}^{n,p}(ℝ)$ — пространство Соболева.

Норма

В пространстве Бесова $B_{p,q}^s(ℝ)$ существует норма

${\Vert f\Vert }_{B_{p,q}^s(ℝ)}={(\Vert f{\Vert }_{W^{n,p}(ℝ)}^q+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\left|\frac{{\omega }_p^2(f^{(n)},t)}{t^{\alpha }}\right|}^q\frac{dt}{t})}^{\frac{1}{q}}$

Пространства Бесова $B_{2,2}^s(ℝ)$ совпадают с более обычными пространствами Соболева $H^s(ℝ)$.

Если $p=q$ и $s$ — не целое число, то $B_{p,p}^s(ℝ)={\overline{W}}^{s,p}(ℝ)$, где ${\overline{W}}^{s,p}(ℝ)$ — пространство Соболева.

Теорема вложения

Пусть $1<p⩽q<\mathrm{\infty }$, $-\mathrm{\infty }<t⩽s<\mathrm{\infty }$, $r\in [1,\mathrm{\infty }]$.

Если выполнено равенство $s-n/p=t-n/q,$ то имеет место непрерывное вложение

$B_{p,r}^s({ℝ}^n)\subset B_{q,r}^t({ℝ}^n).$

Если $s=n/p+t$, $t>0$ и выполнено хотя бы одно из двух условий: $r=1$ или $t$ не целое число, — то верно вложение

$B_{p,r}^s({ℝ}^n)\subset C^t({ℝ}^n).$

Замечание: при $s<0,q\ne 1$ пространство $B_{p,r}^s({ℝ}^n)$ можно понимать как пространство, сопряженное к $B_{p^{\prime },r^{\prime }}^{s^{\prime }}({ℝ}^n)$, где $s^{\prime }=-s,1/p+1/p^{\prime }=1,1/r+1/r^{\prime }=1.$

Интерполяция пространств Бесова

Пусть $s_0,s_1\in ℝ$, $s_0\ne s_1,p\in (1,\mathrm{\infty })$, $q_1,q_2,q\in [1,\mathrm{\infty }],\theta \in (0,1)$.

Тогда для интерполяционных пространств верно следующее равенство ${(B_{p,q_1}^{s_0}({ℝ}^n),B_{p,q_2}^{s_1}({ℝ}^n))}_{\theta ,q}=B_{p,q}^{(1-\theta )s_0+\theta s_1}({ℝ}^n).$

Литература

• О.В. Бесов, “О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения”, Докл. АН СССР, 126:6 (1959), 1163–1165
• Triebel, H. "Theory of Function Spaces II". Шаблон:Ref-en
• Трибель, Х. "Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы", 1980.
• DeVore, R. and Lorentz, G. "Constructive Approximation", 1993. Шаблон:Ref-en
• DeVore, R., Kyriazis, G. and Wang, P. "Multiscale characterizations of Besov spaces on bounded domains", Journal of Approximation Theory 93, 273-292 (1998). Шаблон:Ref-en

Ссылки

• 9.2 Пространства Бесова / Д. Пикар, "Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева), ISBN 978-1-4612-2222-4, 1998