Пространство состояний (теория управления)

Пространство состояний — в теории управления один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение её состояний.

Определение

Пространство состояний обычно называют фазовым пространством динамической системы, а траекторию движения изображающей точки в этом пространстве — фазовой траекторией.

В пространстве состояний создаётся модель динамической системы, включающая набор переменных входа, выхода и состояния, связанных между собой дифференциальными уравнениями первого порядка, которые записываются в матричной форме. В отличие от описания в виде передаточной функции и других методов частотной области, пространство состояний позволяет работать не только с линейными системами и нулевыми начальными условиями. Кроме того, в пространстве состояний относительно просто работать с MIMO-системами.

Линейные непрерывные системы

Структурная схема непрерывной линейной системы, описанной в виде переменных состояния

Для случая линейной системы с $p$ входами, $q$ выходами и $n$ переменными состояния описание имеет вид:

$\dot{𝐱}(t)=A(t)𝐱(t)+B(t)𝐮(t)$

$𝐲(t)=C(t)𝐱(t)+D(t)𝐮(t)$

где

$x(t)\in {ℝ}^n$; $y(t)\in {ℝ}^q$; $u(t)\in {ℝ}^p$;

$\dim [A(\cdot )]=n\times n$, $\dim [B(\cdot )]=n\times p$, $\dim [C(\cdot )]=q\times n$, $\dim [D(\cdot )]=q\times p$, $\dot{𝐱}(t):=\frac{d𝐱(t)}{dt}$:

$x(\cdot )$ — вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы

$y(\cdot )$ — вектор выхода,

$u(\cdot )$ — вектор управления,

$A(\cdot )$ — матрица системы,

$B(\cdot )$ — матрица управления,

$C(\cdot )$ — матрица выхода,

$D(\cdot )$ — матрица прямой связи.

Часто матрица $D(\cdot )$ является нулевой, это означает, что в системе нет явной прямой связи.

Дискретные системы

Для дискретных систем запись уравнений в пространстве основывается не на дифференциальных, а на разностных уравнениях:

$𝐱(nT+T)=A(nT)𝐱(nT)+B(nT)𝐮(nT)$

$𝐲(nT)=C(nT)𝐱(nT)+D(nT)𝐮(nT)$

Нелинейные системы

Нелинейная динамическая система n-го порядка может быть описана в виде системы из n уравнений 1-го порядка:

${\dot{x}}_1=f_1(x_1(t);\dots ,x_n(t),u_1(t),\dots ,u_m(t))$

$⋮$

${\dot{x}}_n=f_n(x_1(t);\dots ,x_n(t),u_1(t),\dots ,u_m(t))$

или в более компактной форме:

$\dot{𝐱}(t)=𝐟(t,𝐱(t),𝐮(t))$

$𝐲(t)=𝐡(t,𝐱(t),𝐮(t))$.

Первое уравнение — это уравнение состояния, второе — уравнение выхода.

Линеаризация

В некоторых случаях возможна линеаризация описания динамической системы для окрестности рабочей точки $(\widetilde{𝐱},\widetilde{𝐮})$. В установившемся режиме $(\widetilde{𝐮}=const)$ для рабочей точки $\widetilde{𝐱}=const,$ справедливо следующее выражение:

$\dot{𝐱}=𝐟(\widetilde{𝐱},\widetilde{𝐮})=\mathrm{𝟎}$

Вводя обозначения:

$\delta 𝐮=𝐮-\widetilde{𝐮}$

$\delta 𝐱=𝐱-\widetilde{𝐱}$

Разложение уравнения состояния $𝐟(𝐱(t),𝐮(t))$ в ряд Тейлора, ограниченное первыми двумя членами даёт следующее выражение:

$𝐟(𝐱(t),𝐮(t))\approx 𝐟(\widetilde{𝐱}(t),\widetilde{𝐮}(t))+\frac{\delta 𝐟}{\delta 𝐱}\delta 𝐱+\frac{\delta 𝐟}{\delta 𝐮}\delta 𝐮$

При взятии частных производных вектор-функции $𝐟$ по вектору переменных состояний $𝐱$ и вектору входных воздействий $𝐮$ получаются матрицы Якоби соответствующих систем функций:

$\frac{\delta 𝐟}{\delta 𝐱}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\delta {𝐟}_{\mathrm{𝟏}}}{\delta {𝐱}_{\mathrm{𝟏}}}& \cdots & \frac{\delta {𝐟}_{\mathrm{𝟏}}}{\delta {𝐱}_{𝐧}}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\delta {𝐟}_{𝐧}}{\delta {𝐱}_{\mathrm{𝟏}}}& \cdots & \frac{\delta {𝐟}_{𝐧}}{\delta {𝐱}_{𝐧}}\end{array}\right]\frac{\delta 𝐟}{\delta 𝐮}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\delta {𝐟}_{\mathrm{𝟏}}}{\delta {𝐮}_{\mathrm{𝟏}}}& \cdots & \frac{\delta {𝐟}_{\mathrm{𝟏}}}{\delta {𝐮}_{𝐩}}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\delta {𝐟}_{𝐧}}{\delta {𝐮}_{\mathrm{𝟏}}}& \cdots & \frac{\delta {𝐟}_{𝐧}}{\delta {𝐮}_{𝐩}}\end{array}\right]$.

Аналогично для функции выхода:

$\frac{\delta 𝐡}{\delta 𝐱}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\delta {𝐡}_{\mathrm{𝟏}}}{\delta {𝐱}_{\mathrm{𝟏}}}& \cdots & \frac{\delta {𝐡}_{\mathrm{𝟏}}}{\delta {𝐱}_{𝐧}}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\delta {𝐡}_{𝐪}}{\delta {𝐱}_{\mathrm{𝟏}}}& \cdots & \frac{\delta {𝐡}_{𝐪}}{\delta {𝐱}_{𝐧}}\end{array}\right]\frac{\delta 𝐡}{\delta 𝐮}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\delta {𝐡}_{\mathrm{𝟏}}}{\delta {𝐮}_{\mathrm{𝟏}}}& \cdots & \frac{\delta {𝐡}_{\mathrm{𝟏}}}{\delta {𝐮}_{𝐩}}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\delta {𝐡}_{𝐪}}{\delta {𝐮}_{\mathrm{𝟏}}}& \cdots & \frac{\delta {𝐡}_{𝐪}}{\delta {𝐮}_{𝐩}}\end{array}\right]$

Учитывая $\delta \dot{𝐱}=\dot{𝐱}-\dot{\widetilde{𝐱}}=\dot{𝐱}$, линеаризованное описание динамической системы в окрестности рабочей точки примет вид:

$\dot{𝐱}$	$=𝐀\delta 𝐱+𝐁\delta 𝐮$
$\delta 𝐲$	$=𝐂\delta 𝐱+𝐃\delta 𝐮$

где

$𝐀=\frac{\delta 𝐟}{\delta 𝐱}𝐁=\frac{\delta 𝐟}{\delta 𝐮}𝐂=\frac{\delta 𝐡}{\delta 𝐱}𝐃=\frac{\delta 𝐡}{\delta 𝐮}$.

Примеры

Модель в пространстве состояний для маятника

Маятник является классической свободной нелинейной системой. Математически движение маятника описывается следующим соотношением:

$ml\ddot{\theta }(t)=-mg\sin \theta (t)-kl\dot{\theta }(t)$

где

• $\theta (t)$ — угол отклонения маятника.
• $m$ — приведённая масса маятника
• $g$ — ускорение свободного падения
• $k$ — коэффициент трения в подшипнике подвеса
• $l$ — длина подвеса маятника

В таком случае уравнения в пространстве состояний будут иметь вид:

$\dot{x_1}(t)=x_2(t)$

$\dot{x_2}(t)=-\frac{g}{l}\sin x_1(t)-\frac{k}{m}{x}_2(t)$

где

• $x_1(t):=\theta (t)$ — угол отклонения маятника
• $x_2(t):=\dot{x_1}(t)$ — угловая скорость маятника
• $\dot{x_2}(t):=\ddot{x_1}(t)$ — угловое ускорение маятника

Запись уравнений состояния в общем виде:

$\dot{𝐱}(t)=\left(\begin{array}{c}\dot{x_1}(t)\\ \dot{x_2}(t)\end{array}\right)=𝐟(t,x(t))=\left(\begin{array}{c}{x}_2(t)\\ -\frac{g}{l}\sin x_1(t)-\frac{k}{m}{x}_2(t)\end{array}\right)$.

Линеаризация модели маятника

Линеаризованная матрица системы для модели маятника в окрестности точки равновесия $({\tilde{x}}_1=0)$ имеет вид:

$\frac{\delta 𝐟}{\delta 𝐱}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -\frac{g}{l}\cos {\tilde{x}}_1& -\frac{k}{m}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -\frac{g}{l}& -\frac{k}{m}\end{array}\right)$

При отсутствии трения в подвесе (Шаблон:Math) получим уравнение движения математического маятника:

$\ddot{x}=-\frac{g}{l}x$

См. также

• Теория управления
• Фазовое пространство
• Критерий устойчивости в пространстве состояний
• Пространство понятий
• Система отсчёта
• Модальное управление

Литература

• Книги

• Статьи

Ссылки

• Исходные дифференциальные уравнения САР

Шаблон:Rq