Процесс Гаусса — Маркова

Проце́сс Га́усса — Ма́ркова — случайный процесс, который удовлетворяет требованиям как для гауссовского процесса, так и для марковского. Назван в честь Карла Фридриха Гаусса и Андрея Андреевича Маркова. Стационарный процесс Гаусса — Маркова также известен как процесс Орнштейна — Уленбека.

Основные свойства

Каждый процесс Гаусса — Маркова $X(t)$ обладает тремя следующими свойствами:

1. Если $h(t)$ — ненулевая скалярная функция от $t$, то $z(t)=h(t)X(t)$ также является процессом Гаусса — Маркова.
2. Если $f(t)$ — неубывающая скалярная функция от $t$, то $z(t)=X(f(t))$ также является процессом Гаусса — Маркова.
3. Если процесс невырожденный и непрерывный в среднеквадратическом, то существуют ненулевая скалярная функция $h(t)$ и строго возрастающая скалярная функция $f(t)$ такие, что $X(t)=h(t)W(f(t))$, где $W(t)$ — стандартный винеровский процесс.

Свойство (3) означает, что любой невырожденный непрерывный в среднеквадратическом процесс Гаусса — Маркова может быть синтезирован из стандартного винеровского процесса.

Прочие свойства

Стационарный процесс Гаусса — Маркова с дисперсией $\mathbf{\text{E}}(X^2(t))={\sigma }^2$ и постоянной времени ${\beta }^{-1}$ обладает следующими свойствами.

• Экспоненциальная автокорреляция:

${\mathbf{\text{R}}}_x(\tau )={\sigma }^2{e}^{-\beta |\tau |}.$

• Функция спектральной плотности мощности, имеет ту же форму, что и распределение Коши:

${\mathbf{\text{S}}}_x(j\omega )=\frac{2{\sigma }^2\beta }{{\omega }^2+{\beta }^2}.$

(Обратите внимание, что распределение Коши и этот спектр различаются масштабными коэффициентами.)

• Вышеупомянутое даёт следующую спектральную факторизацию:

${\mathbf{\text{S}}}_x(s)=\frac{2{\sigma }^2\beta }{-s^2+{\beta }^2}=\frac{\sqrt{2\beta }\sigma }{(s+\beta )}\cdot \frac{\sqrt{2\beta }\sigma }{(-s+\beta )},$

что важно в винеровском оценивании и других областях.