Ряд Гильберта и многочлен Гильберта

Функция Гильберта, ряд Гильберта и многочлен Гильберта градуированной коммутативной алгебры, конечно порождённой над полем — это три тесно связанных понятия, которые позволяют измерить рост размерности однородных компонент алгебры.

Эти понятия были распространены на Шаблон:Нп5 и градуированные или фильтрованные модули над этими алгебрами, а также на когерентные пучки над проективными схемами.

Эти понятия часто используются в следующих ситуациях:

• Фактор кольца многочленов по однородному идеалу, градуированный полной степенью.
• Фактор кольца многочленов по идеалу, фильтрованный полной степенью.
• Фильтрация локального кольца степенями его максимального идеала.

Многочлен Гильберта и ряд Гильберта играют важную роль в вычислительной алгебраической геометрии, так как они предоставляют простейший известный способ вычисления размерности и степени алгебраического многообразия, заданного явными полиномиальными уравнениями.

Определения и основные свойства

Рассмотрим конечно порождённую градуированную коммутативную алгебру Шаблон:Math над полем Шаблон:Math, которая является конечно порождённой элементами положительной степени. Это значит, что

$S=\underset{i\ge 0}{⨁}{S}_i$

и что $S_0=K$.

Функция Гильберта

$H{F}_S:n\mapsto {\dim }_K{S}_n$

переводит целое число Шаблон:Math в размерность векторного пространства Шаблон:Math над полем Шаблон:Math. Ряд Гильберта, который называется рядом Гильберта — Пуанкаре в более общей ситуации градуированных векторных пространств, — это формальный ряд

$H{S}_S(t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}H{F}_S(n)t^n.$

Если Шаблон:Math порождена Шаблон:Math однородными элементами положительных степеней $d_1,\dots ,d_h$, то сумма ряда Гильберта является рациональной функцией

$H{S}_S(t)=\frac{Q(t)}{\prod _{i=1}^h(1-t^{d_i})},$

где Шаблон:Math — это многочлен с целыми коэффициентами.

Если Шаблон:Math порождена элементами степени 1, то сумма ряда Гильберта может быть переписана как

$H{S}_S(t)=\frac{P(t)}{(1-t{)}^{\delta }},$

где Шаблон:Math — многочлен с целыми коэффициентами, и $\delta$ — размерность Крулля Шаблон:Mvar.

В этом случае разложение этой рациональной функции в ряж имеет вид

$H{S}_S(t)=P(t)(1+\delta t+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\delta -1}{\delta -1})t^n+\cdots )$

где биномиальный коэффициент $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\delta -1}{\delta -1})$ равен $\frac{(n+\delta -1)(n+\delta -2)\cdots (n+1)}{(\delta -1)!}$ при $n>-\delta$ и нулю в противном случае.

Если $P(t)={\sum }_{i=0}^d{a}_i{t}^i,$ то коэффициент при $t^n$ в $H{S}_S(t)$ — это

$H{F}_S(n)=\sum _{i=0}^d{a}_i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i+\delta -1}{\delta -1}).$

При $n\ge i-\delta +1$ член с индексом Шаблон:Mvar в этой сумме — это многочлен от Шаблон:Mvar степени $\delta -1$ со старшим коэффициентом $a_i/(\delta -1)!.$ Это показывает, что существует единственный многочлен $H{P}_S(n)$ с рациональными коэффициентами, который равен $H{F}_S(n)$ при достаточно больших Шаблон:Mvar. Этот многочлен называется многочленом Гильберта, и имеет вид

$H{P}_S(n)=\frac{P(1)}{(\delta -1)!}{n}^{\delta -1}+\text{terms of lower degree in }n.$

Многочлен Гильберта — целозначный многочлен, так как размерности являются целыми числами, но он почти никогда не имеет целые коэффициенты.

Все эти определения можно распространить на конечно порождённые градуированные модули над Шаблон:Math.

Функция Гильберта, ряд Гильберта и многочлен Гильберта фильтрованной алгебры вычисляются для ассоциированной градуированной алгебры.

Многочлен Гильберта проективного многообразия Шаблон:Math в Шаблон:Math определяется как многочлен Гильберта однородного координатного кольца Шаблон:Math.

Градуированные алгебры и кольца многочленов

Кольца многочленов и их факторы по однородным идеалам — это типичные градуированные алгебры. Обратно, если Шаблон:Math — градуированная алгебра над полем Шаблон:Math, порождённая Шаблон:Math однородными элементами Шаблон:Math степени 1, то отображение, которое переводит Шаблон:Math в Шаблон:Mvar, определяет гомоморфизм градуированных колец из $R_n=K[X_1,\dots ,X_n]$ на Шаблон:Math. Его ядро — однородный идеал Шаблон:Math, и это определяет изоморфизм градуированных алгебр между $R_n/I$ и Шаблон:Math.

Таким образом, градуированные алгебры, порождённые однородными элементами степени 1 — это в точности факторы колец многочленов по однородным идеалам (с точностью до изоморфизма). Поэтому в последующих разделах этой статьи будут рассматриваться факторы колец многочленов по идеалам.

Свойства ряда Гильберта

Аддитивность

Ряд Гильберта и многочлен Гильберта аддитивны в точных последовательностях. Более точно, если

$0\to A\to B\to C\to 0$

является точной последовательностью градуированных или фильтрованных модулей, то мы имеем

$H{S}_B=H{S}_A+H{S}_C$

и

$H{P}_B=H{P}_A+H{P}_C.$

Это немедленно следует из аналогичного свойства для размерностей векторных пространств.

Фактор по элементу, не являющемуся делителем нуля

Пусть Шаблон:Math — градуированная алгебра и Шаблон:Math — однородный элемент Шаблон:Math степени Шаблон:Math, который не является делителем нуля. Тогда мы имеем

$H{S}_{A/(f)}(t)=(1-t^d)H{S}_A(t).$

Это следует из аддитивности для точной последовательности

$0\to A^{[d]}\stackrel{f}{\to }A\to A/f\to 0,$

где стрелка с буквой Шаблон:Math — это умножение на Шаблон:Math, и $A^{[d]}$ — это градуированный модуль, полученный из Шаблон:Math сдвигом степеней на Шаблон:Math, так что умножение на Шаблон:Math имеет степень 0. В частности, $H{S}_{A^{[d]}}(t)=t^{d}H{S}_A(t).$

Ряд Гильберта и многочлен Гильберта кольца многочленов

Ряд Гильберта кольца многочленов $R_n=K[x_1,\dots ,x_n]$ от $n$ переменных равен

$H{S}_{R_n}(t)=\frac{1}{(1-t{)}^n}.$

Из этого следует, что многочлен Гильберта равен

$H{P}_{R_n}(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+n-1}{n-1})=\frac{(k+1)\cdots (k+n-1)}{(n-1)!}.$

Доказательство того, что ряд Гильберта имеет такой вид получается по индукции применением предыдущей формулы для фактора по элементу, не являющемуся делителем нуля (в нашем случае — по $x_n$) и из того, что $H{S}_K(t)=1.$

Вид ряда Гильберта и размерность

Градуированная алгебра Шаблон:Math, порождённая однородными элементами степени 1, имеет размерность Крулля 0, когда максимальный однородный идеал, то есть идеал, порождённый однородными элементами степени 1, нильпотентен. Из этого следует, что размерность Шаблон:Math как векторного пространства надШаблон:Math конечна и что ряд Гильберта Шаблон:Math — это многочлен Шаблон:Math, такой, что Шаблон:Math равно размерности Шаблон:Math как векторного пространства над Шаблон:Math.

Если размерность Крулля Шаблон:Math положительна, то существует однородный элемент Шаблон:Math степени 1, не являющийся делителем нуля (на самом деле почти все элементы степени 1 таковы). Размерность Крулля Шаблон:Math равна размерности Крулля Шаблон:Math минус один.

Из аддитивности ряда Гильберта следует, что $H{S}_{A/(f)}(t)=(1-t)H{S}_A(t)$. Итерируя это размерность Шаблон:Math раз, мы получаем алгебру размерности 0, ряд Гильберта которой — многочлен Шаблон:Math. Это показывает, что ряд Гильберта Шаблон:Math равен

$H{S}_A(t)=\frac{P(t)}{(1-t{)}^d}$

где многочлен Шаблон:Math таков, что Шаблон:Math и Шаблон:Math — это размерность Крулля алгебры Шаблон:Math.

Из этой формулы для ряда Гильберта следует, что степень многочлена Гильберта равна Шаблон:Math и его старший коэффициент — $\frac{P(1)}{d!}$.

Степень проективного многообразия и теорема Безу

Ряд Гильберта позволяет вычислить степень алгебраического многообразия как значение в 1 числителя ряда Гильберта. Это также даёт простое доказательство теоремы Безу.

Рассмотрим проективное алгебраическое множество Шаблон:Mvar размерности большей нуля, определённое как множество нулей однородного идеала $I\subset k[x_0,x_1,\dots ,x_n]$, где Шаблон:Mvar — поле, и пусть $R=k[x_0,\dots ,x_n]/I$. Если Шаблон:Mvar — однородный многочлен степени $\delta$, который не является делителем нуля в Шаблон:Mvar, точная последовательность

$0\to R^{[\delta ]}\stackrel{f}{\to }R\to R/⟨f⟩\to 0,$

показывает, что

$H{S}_{R/⟨f⟩}(t)=(1-t^{\delta })H{S}_R(t).$

Рассматривая числители, получаем доказательство следующего обобщения теоремы Безу:

Если Шаблон:Mvar — это однородный многочлен степени $\delta$, который не является делителем нуля в Шаблон:Mvar, то степень пересечения Шаблон:Mvar с гиперповерхностью, определённой Шаблон:Mvar, равна произведению степени Шаблон:Mvar на $\delta$ .

Более геометрически это можно переформулировать следующим образом: если проективная гиперповерхность степени Шаблон:Math не содержит ни одной неприводимой компоненты алгебраического множества степени Шаблон:Math, то степень их пересечения равна Шаблон:Math.

Обычная теорема Безу легко выводится из этого утверждения, если начинать с гиперповерхности и последовательно пересекать её с Шаблон:Math другими гиперповерхностями.

Литература

• Eisenbud, David. Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, New York: Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.
• Schenck, Hal. Computational Algebraic Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-53650-9.
• Stanley, Richard. "Hilbert functions of graded algebras", Advances in Math., 28 (1), pp. 57–83, 1978.