Ряд Лейбница

Ряд Лейбница — знакочередующийся ряд, названный именем исследовавшего его немецкого математика Лейбница (хотя этот ряд был известен и раньше):

$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{15}+\frac{1}{17}-\frac{1}{19}+\frac{1}{21}-\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}.$

Сходимость этого ряда сразу следует из теоремы Лейбница для знакочередующихся рядов. Лейбниц показал, что сумма ряда равна $\frac{\pi }{4}.$ Это открытие впервые показало, что число $\pi$, первоначально определённое в геометрии, на деле является универсальной математической константой; в дальнейшем этот факт постоянно находил новые подтверждения.

Скорость сходимости

Ряд Лейбница сходится крайне медленно. Нижеследующая таблица иллюстрирует скорость сходимости к $\pi$ ряда, умноженного на 4.

n (число членов ряда)	$4\cdot \sum _{k=0}^{n-1}\frac{(-1{)}^k}{2k+1}$ (частичная сумма, верные знаки выделены чёрным цветом)	Относительная точность
2	2,666666666666667	0,848826363156775
4	2,895238095238095	0,921582908570213
8	3,017071817071817	0,960363786700453
16	3,079153394197426	0,980124966449415
32	3,110350273698686	0,990055241612751
64	3,125968606973288	0,995026711499770
100	3,131592903558553	0,996816980705689
Шаблон:Num	3,140592653839793	0,999681690193394
Шаблон:Num	3,141492653590043	0,999968169011461
Шаблон:Num	3,141582653589793	0,999996816901138
Шаблон:Num	3,141591653589793	0,999999681690114
Шаблон:Num	3,141592553589793	0,999999968169011
Шаблон:Num	3,141592643589793	0,999999996816901
Шаблон:Num	3,141592652589793	0,999999999681690

История

Ряд Лейбница легко получить через разложение арктангенса в ряд ТейлораШаблон:Sfn:

$\mathrm{arctg}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots$

Положив $x=1,$ мы получаем ряд Лейбница.

Ряд Тейлора для арктангенса впервые открыл индийский математик Мадхава из Сангамаграмы, основатель Керальской школы астрономии и математики (XIV век). Мадхава использовал ряд для вычисления числа $\pi$. Однако ряд Лейбница с $x=1,$ как показано выше, сходится крайне медленно, поэтому Мадхава положил $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ и получил гораздо быстрее сходящийся рядШаблон:Sfn:

$\pi =\sqrt{12}(1-\frac{1}{3\cdot 3}+\frac{1}{5\cdot 3^2}-\frac{1}{7\cdot 3^3}+\dots ).$

Сумма первых 21 слагаемых даёт значение $3,14159265359$, причём все знаки, кроме последнего, верны.

Труды Мадхавы и его учеников не были известны в Европе XVII века, и разложение арктангенса было независимо переоткрыто Джеймсом Грегори (1671) и Готфридом Лейбницем (1676). Поэтому некоторые источники предлагают называть данный ряд «рядом Мадхавы — Лейбница» или «рядом Грегори — Лейбница». Грегори, впрочем, не связал этот ряд с числом $\pi .$

Ускорение сходимости

Ещё одна модификация ряда Лейбница, делающая его практически пригодным для вычисления $\pi$ — попарное объединение членов ряда. В результате получим следующий ряд:

$\frac{\pi }{4}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{4n+1}-\frac{1}{4n+3})=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{(4n+1)(4n+3)}.$

Для дальнейшей оптимизации вычислений можно применить формулу Эйлера — Маклорена и использовать методы численного интегрирования.

См. также

• Гармонический ряд

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Mathworld